Corte (deslizamiento sesgado)

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Vectores 3D (tridimensionales), Álgebra, Geometría, Matrices, Transformación de semejanza o Semejanza, Sólidos o Figuras 3D, Transformacionse geométricas, Vectores
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Comando GeoGebra asociado: no hay, al menos de momento. Hasta ahora nos hemos limitado a exponer las cuatro isometrías, es decir, las cuatro transformaciones afines invertibles (equivalentes a un cambio de sistema de referencia) en las que la matriz de cambio de base es ortogonal, lo que a su vez equivale a decir que los vectores a, b y c del cambio de base han de ser ortogonales y unitarios. En definitiva: la imagen del cubo unidad es otro cubo unidad. Hemos visto, además, que basta analizar las transformaciones lineales, pues las correspondientes transformaciones afines no son más que composiciones de aquellas con traslaciones. Así que solo nos queda preguntarnos qué otros tipos de transformaciones lineales, no isométricas, podemos realizar. Estos tipos son solo dos: cortes (o cortantes o cizallamientos) y escalados. En esta actividad veremos los cortes. Son transformaciones en los que un punto se desplaza paralelamente a un plano que pasa por el origen, pero de modo que su desplazamiento es proporcial a la distancia a ese plano. Veremos los casos básicos, en los que el corte es paralelo a los planos XY, XZ o YZ, ya que para otro plano basta componer el corte con los correspondientes giros, tal como hemos visto en los cortes del plano.
  • En el corte XY, los vectores a y b permanecen inalterados (coinciden con i y j), mientras el vector c abandona la ortogonalidad con el plano XY, "inclinándose" respecto a él. Cada sección paralela al plano XY del cubo unidad mantiene su forma y tamaño.
  • En el corte XZ, los vectores a y c permanecen inalterados (coinciden con i y k), mientras el vector b abandona la ortogonalidad con el plano XZ, "inclinándose" respecto a él. Cada sección paralela al plano XZ del cubo unidad mantiene su forma y tamaño.
  • En el corte YZ, los vectores b y c permanecen inalterados (coinciden con j y k), mientras el vector a abandona la ortogonalidad con el plano YZ, "inclinándose" respecto a él. Cada sección paralela al plano YZ del cubo unidad mantiene su forma y tamaño.
En cualquier caso, el cubo unidad se transforma en un paralelepípedo de base y altura 1. Los cortes no conservan la forma de las figuras, pues no conservan los ángulos (a, b y c ya no son ortogonales) y tampoco conservan las distancias, excepto en la dirección del plano de corte. Pero observemos que el volumen del paralelepípedo coincide con el volumen del cubo unidad. Por lo tanto, los cortes en el espacio conservan los volúmenes. En la siguiente construcción puedes comprobar el efecto de estos tres tipos de corte. Las respectivas matrices de cambio de base son:

Corte XY: Corte XZ: Corte YZ:

donde cxz = tg(αz), cyz = tg(βz), cxy = tg(αy), czy = tg(γy), cyx = tg(βx), czx = tg(γx) son los factores de corte, siendo:
  • αz, βz son, respectivamente, los ángulos de inclinación de c con respecto al plano YZ y XZ.
  • αy, γy son, respectivamente, los ángulos de inclinación de b con respecto al plano YZ y XY.
  • βx, γx son, respectivamente, los ángulos de inclinación de a con respecto al plano XZ y XY.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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