Collezione di Pappo
- Autore:
- Sara
Nella traduzione di Commandino si legge:
"Gli antichi [Pappo] affermarono che ci sono tre tipologie di problemi, e che alcuni di questi sono chiamati piani, altri solidi, e altri ancora lineari; e quelli che possono essere risolti con linee rette e circonferenze sono giustamente chiamati piani perché le linee per mezzo delle quali questi problemi sono risolti hanno origine sul piano. Ma quei problemi che devono essere risolti coinvolgendo una o più sezioni coniche nella costruzione, sono chiamati solidi perché per la loro costruzione è necessario usare la superficie di figure solide, chiamate coni. Rimane un ultimo tipo di problemi che sono chiamati lineari. Nelle loro costruzioni sono coinvoilte altre linee oltre a quelle già menzionate, aventi un’origine non costante o mutevole, come le spirali, e le curve che i greci chiamano "tetragonizousas", e che noi possiamo chiamare "quadranti", e le concoidi, e le cissoidi, che hanno alcune proprietà sorprendenti."
Quindi, Pappo suddivise i problemi geometrici in tre categorie, sulla base della natura delle curve necessarie per la loro costruzione.
La classe dei problemi piani comprendeva tutti quelli costruibili con riga e compasso.
Facevano parte dei problemi solidi, invece, tutti i problemi non piani che potevano essere costruiti tramite rette, cerchi e sezioni coniche.
Infine, i problemi lineari sono tutti quelli per i quali rette, cerchi e sezioni coniche non erano sufficienti.
La regola
Oltre alla classificazione, Pappo ebbe molta influenza tra i matematici del XVI secolo anche per un altro fattore. Infatti, nella sua opera esplicitò quella che secondo lui era la regola principale da seguire per la risoluzione di problemi: è necessario costruirli con gli strumenti appropriati alla loro classe.
Secondo Pappo, quindi, non è permesso costruire problemi piani con strumenti solidi o lineari, o problemi solidi con strumenti lineari. Inoltre, sarebbe insensato costruire problemi lineari con strumenti piani o solidi, o problemi solidi con strumenti piani.
Accettabilità
Seppur Pappo non abbia espresso chiaramente la sua idea riguardo all’accettabilità delle costruzioni, si può intuire il suo pensiero dalla "regola". Sembrerebbe, infatti, che egli considerasse accettabili geometricamente solo quelle costruzioni effettuate tramite intersezione di rette, cerchi, sezioni coniche o altre curve più complicate.
Per quanto riguarda, invece, altre procedure come lo slittamento di righelli e l’utilizzo di una curva chiamata neusis, Pappo riportò qualche dubbio sulla loro accettabilità. Ad ogni modo, lui stesso utilizzò liberamente queste procedure poiché le riteneva interessanti da studiare e più semplici rispetto alla procedura con le curve.
Costruzione delle curve
Dal momento, però, che i matematici avrebbero dovuto costruire la soluzione dei problemi tramite intersezione di curve, era importante chiarire come le curve stesse dovessero essere costruite.
Ad esempio, per quanto riguarda la costruzione delle sezioni coniche, Pappo si riallacciava a quella ideata da Apollonio. La sua costruzione delle coniche consiste nel collocare un cono nello spazio attorno al piano su cui si vuole tracciare la curva.
parabola di Apollonio
iperbole di Apollonio
Per la costruzione dei problemi lineari, Pappo consigliò di utilizzare curve come la cissoide e la concoide.
Tuttavia, gli unici esempi di costruzioni riportate nelle "Collezioni" ricavate con queste curve sono quelli dei due medi proporzionali e della trisezione dell’angolo, che però sono problemi solidi e quindi dovrebbero essero costruiti con sezioni coniche.
Pappo non riportò, invece, esempi di problemi lineari risolvibili con la cissoide e la concoide.
Le uniche curve che effettivamente utilizzò per risolvere problemi lineari furono la spirale e la quadratrice. Tuttavia, Pappo giudicò queste curve non geometriche poiché tracciate tramite un moto.
Inoltre, se la quadratrice fosse stata accettata in geometria, sarebbe stata uno strumento potentissimo col quale risolvere moltissimi problemi tra cui la divisione di un angolo e la quadratura del cerchio.
Di seguito riporto alcuni esempi di problemi piani, solidi e lineari.