Lokale Änderungsrate
|| Nutzungshinweise zum Applet
|| 1. Wenn du nun den Punkt B immer näher an A heranbewegst (damit also das Intervall immer
|| schmaler machst), so erhältst du immer bessere Näherungswerte für die Steigung an der Stelle a
|| selbst. Du siehst, wie sich die Sekante immer besser an die Tangente annähert, welche du über
|| das entsprechende Kontrollkästchen einblenden kannst. Eine Tangente an der Stelle x einer
|| Funktion ist übrigens eine Gerade, die den Graphen der Funktion an dem entsprechenden Punkt
|| berührt und an diesem Punkt dieselbe Steigung hat wie die Funktion. Er berührt die Funktion
|| jedoch nur und schneidet sie nicht.
|| 2. Schau dir nun nochmal das Steigungsdreieck an. Je näher die beiden Punkte A und B
|| aneinander liegen, desto kleiner wird es. Was passiert mit dem Differenzenquotienten, wenn du
|| mit A genau auf B fährst? Kann man dann überhaupt noch einen Wert ausrechnen?
|| 3. Halten wir fest: Bei einer Annäherung von b gegen a nähert sich die Sekante einer Tangente an.
|| Die Steigung dieser Tangente ist die Steigung der Kurve an der Stelle a. Das heißt, wir erhalten die
|| Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle a zunächst nicht als direkt berechenbaren Wert
|| sondern lediglich als Grenzwert einer Folge von Sekantensteigungen. Die nächste Aufgabe wird
|| nun sein, dieses anschauliche Verfahren auch rechnerisch in den Griff zu bekommen.
|| 4. Für die lokale Steigung an der Stelle a findet man folgenden Ausdruck. Versuche, ihn mithilfe
|| einer Skizze zu veranschaulichen und zu erläutern.
|| Tipp: Wir schreiben die Stelle b hierfür als b = a + h. Dabei ist h die Breite unseres
|| Steigungsdreiecks.
Frage
Blende die Sekante und die Tangente ein. Was passiert mit der Sekante, wenn man die Punkte A und B immer näher aneinander schiebt?
Aufgabe
Erkläre in deinen eigenen Worten, wie man aus einer Sekante eine Tangente machen kann. Gib einen beliebigen Buchstaben ein, um die Musterlösung zu sehen.