Las cónicas hiperbólicas en el disco de Poincaré.
Las cónicas hiperbólicas.
En esta actividad se construyen las cónicas hiperbólicas utilizando su definición como lugar geométrico. Para estas cónicas, utilizando conceptos de geometría hiperbólica (la métrica de dicho espacio), de variable compleja (Transformación conforme), de trigonometría hiperbólica (las funciones cosh, senh y sus identidades) y de geometría euclidiana (potencia de un punto), es posible deducir las ecuaciones algebraicas de cada una de las cónicas hiperbólicas e implementarlas en GeoGebra. Así mismo en esta actividad se construyen estas curvas con base en estas ecuaciones.
La parábola hiperbólica.
En la siguiente actividad se construye la parábola hiperbólica, como lugar geométrico utilizando la siguiente definición.
Definición. La Parábola, es el lugar geométrico de un punto P que equidista de un punto fijo F,
que se llama foco y de una recta fija l, que se denomina directriz y que no contiene el foco.
La construcción de este lugar geométrico se obtiene, con los pasos que se indican
a continuación.
a. Considerar una recta hiperbólica d definida por dos puntos A y B (la directriz) y un punto fuera de
ella, el foco F.
b. Seleccionar un punto M perteneciente a la directriz d.
c. Trazar por M la perpendicular h a la directriz d.
d. Determinar la mediatriz hiperbólica m entre los puntos M y F.
e. Ubicar el punto de intersección P, entre las rectas h y m.
f. Determinar el lugar geométrico generado por el punto P, cuando M se desplaza sobre la directriz m.
Para este caso, las siguientes líneas de código permiten programar analíticamente su ecuación en
GeoGebra. Debido a su carácter polinómico la expresión algebraica resultante genera una curva que se extiende a lo largo de todo el plano euclidiano; en ella, el foco se define a través de un punto F y la directriz por su centro y su radio .
k_F = 2 / (1 -x(F)^2 - y(F)^2)
L1(x,y) = (1 - x^2 - y^2) / k_F + (x - x(F))^2 + (y - y(F))^2
L2(x,y) = (R_L^2) * (1 - x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2 - 2*x_0*x - 2*y_0*y + 1)^2
CurvaImplícita(R_L^2* L1(x, y)^2 - (1 / k_F)^2 * L2(x, y))
Si se desea limitar visualmente esta curva al interior del disco de Poincaré, para evitar las ramas externas falas, es necesario introducir un condicional interno que actúe como un filtro geométrico lo cual se obtiene
con la siguiente línea de código.
CurvaImplícita(Si(x²+ y² < 0.99, R_L² (L1(x, y))² - (1 / k_F)² L2(x, y), 1))
La curva hiperbólica resultante pertenece formalmente a una familia de curvas algebraicas de cuarto
grado denominadas Curvas cuarticas racionales bicirculares abiertas.