Energia immagazzinata in un condensatore
Introduzione
Un condensatore è un dispositivo elettrico in grado di immagazzinare energia.
In generale esso è costituito da due elementi di materiale conduttore, dette armature, disposti uno vicino all'altro, ma non in contatto, e dotati di carica elettrica di uguale intensità e segno opposto.
Nella versione "ideale" di questo dispositivo, il condensatore ad armature piane e parallele, le armature sono dei piani infiniti disposti parallelamente ad una distanza . Poiché le armature hanno area infinita, la quantità di carica su ciascuna di esse viene specificata attraverso la densità superficiale di carica .
Equazioni rilevanti
Utilizzando il teorema di Gauss è facile mostrare che il campo elettrico nella regione (vuota) interna alle armature di un condensatore ad armature piane e parallele ha le seguenti caratteristiche
- direzione perpendicolare alle armature;
- verso dall'armatura carica positivamente a quella carica negativamente;
- modulo pari a
Notazioni
Per ragioni storiche la differenza di potenziale tra le armature di un condensatore viene indicata con e non con .
Nella discussione qui sotto però continueremo ad utilizzare per ragioni di chiarezza.
Energia immagazzinata in un condensatore
Per caricare un condensatore è necessario compiere lavoro, e quindi spendere energia.
Immaginiamo di avere un condensatore inizialmente scarico. In queste condizioni le due armature sono elettricamente neutre. Questo però non significa che siano prive di carica. Semplicemente possiedono cariche positive e negative in egual numero.
Immaginiamo di caricare il condensatore spostando manualmente un certo numero di cariche negative da un'armatura all'altra.
La forza che dobbiamo vincere per ciascuna singola carica aumenta ad ogni passaggio. Infatti, dopo passaggi ci saranno cariche positive sull'armatura di partenza e cariche negative su quella di arrivo.
Quando estraiamo un'altra carica negativa dall'armatura di partenza dobbiamo vincere l'attrazione di cariche sull'armatura positiva e cariche su quella negativa.
La costruzione interattiva qui sotto mostra una simulazione schematica del processo di carica in esame.
Il pannello inferiore mostra il grafico della dipendenza della carica totale dalla differenza di potenziale tra le armature.
Ciascuno dei rettangoli che compaiono nel piano rappresenta il lavoro per trasportare una carica individuale da un'armatura all'altra. Infatti, ignorando il contributo dovuto al piccolo sbilanciamento di carica tra le armature, il lavoro necessario a spostare una singola carica è pari a .
Ad ogni passaggio successivo però la carica totale sulle armature aumenta, e così la differenza di potenziale tra le armature stesse.
Il lavoro totale è la somma dei lavori parziali, ovvero la somma delle aree dei rettangoli.
È chiaro che, se le basi dei rettangoli sono sufficientemente piccole, la somma delle aree coincide con l'area del rettangolo che come base ha la carica finale complessiva e come altezza la differenza di potenziale finale .
Il lavoro totale effettuato per caricare il condensatore, che coincide con l'energia da esso immagazzinata, vale allora.
Formulazioni equivalenti dell'energia del condensatore
Come detto, la differenza di potenziale tra le armature viene solitamente indicata con il simbolo anziché .
La formula che lega la differenza di potenziale alla carica sulle armature diventa allora
e, tenendo conto di tale relazione, l'energia immagazzinata nel condensatore può essere espressa da tre relazioni equivalenti
Si noti in particolare che le ultime due espressioni dell'energia nel condensatore sono formalmente identiche all'energia potenziale elastica immagazzinata in una molla:
Nel primo caso il ruolo della costante elastica e dell'elongazione della molla è svolto dalla capacità del condensatore e dalla differenza di potenziale tra le sue armature: e .
Nel secondo caso l'associazione è e .
Densità di energia del campo elettrico
Al campo elettrico costante presente nella regione interna alle armature del condensatore può essere associata una densità di energia (ovvero un'energia per unità di volume).
Osservando che il volume compreso tra due armature di area poste a distanza è , si ha
Questa formula è stata derivata nel caso del campo costante del condensatore, ma vale più in generale.
Essa esprime la densità di energia presente in una generica regione di spazio in cui il campo elettrico può essere considerato costante.