L'asse di un segmento
L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
DIMOSTRAZIONI:
DIMOSTRAZIONE N.1: Un luogo geometrico: l’asse di un segmento Tutti i punti dell’asse sono equidistanti dagli estremi.
Dobbiamo dimostrare che, se un punto C appartiene all’asse a del segmento AB, allora è equidistante da A e B. I triangoli rettangoli AMC e BMC hanno:
• AM MB, perché M è punto medio di AB;
• MC in comune.
Sono per ciò congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, AC CB, , quindi le distanze di C da A e B sono uguali.
DIMOSTRAZIONE N.2: Solo i punti dell’asse sono equidistanti dagli estremi
Dobbiamo dimostrare che, se un punto C è equidistante da A e B, allora appartiene all’asse del segmento AB. Dal punto C tracciamo la perpendicolare CH ad AB.
I triangoli rettangoli AHC e BHC hanno
• AC CB perché C è equidistante da A e B;
• HC in comune.
Sono perciò congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, AH HB..
La retta CH è perpendicolare al segmento AB e passa per il suo punto medio, quindi C appartiene all’asse di AB.