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Teorema del coseno y estática de poleas

Auteur :Javier Cayetano Rodríguez
Cuando un sistema está en equilibrio, la resultante (suma) de todas las fuerzas que actúan sobre sus puntos es nula. Esto es lo que se conoce como principio fundamental de la estática.
  • Imponiendo esta condición podemos resolver muchas situaciones para averiguar la configuración final, una vez alcanzado el equilibrio.
  • Geométricamente, el principio se traduce en que cuando hay más de dos fuerzas actuando sobre un punto, los vectores correspondientes pueden disponerse formando un polígono.
Veamos, por ejemplo, un sistema con dos poleas y tres masas. Las poleas están a la misma altura. En el punto de equilibrio, el polígono mencionado será un triángulo, que podremos resolver con las herramientas habituales de trigonometría. Concretamente, el teorema del coseno. (*) Por simplicidad, supondremos que el radio de las poleas es despreciable, no hay rozamiento y las cuerdas no son elásticas.

Instrucciones

  • Utiliza la botonera de la derecha para elegir diferentes casos, que serán según conozcamos: la separación entre las poleas, cuánto ha descendido la masa del medio, o la distancia (en horizontal) del punto de equilibrio a una polea.
  • Marcando la casilla "Ver solución" veremos la solución y los pasos para llegar hasta ella. Utilízalos para aprender a resolver estos ejercicios y comprobar si lo haces correctamente.
  • Pulsando en el botón "Simulador", podremos ver el efecto de modificar los valores de las masas. También, para cada masa, nos ofrecerá la opción de visualizar por dónde se desplazará el punto de equilibrio al modificarlo.
Ejercicios
  • Las puntuaciones son entre 0 y 10 puntos. Cada acierto vale 3 puntos. Los fallos no penalizan.
  • Podemos redondear con 2 decimales. Se admite cierto margen de error en los resultados.
  • La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
  • Podemos hacer tantos ejercicios como queramos.

Nuestro turno

Todos los ejemplos planteados tienen solución, pues se llega al equilibrio. Una vez que ya conozcas la dinámica de estos sistemas, puedes plantearte:

  1. ¿qué debe ocurrir para que el punto de equilibrio se encuentre...?
    • en la mediatriz de las poleas,
    • a la izquierda de la mediatriz,
    • a la derecha.
  2. En la resolución no necesitamos llegar a calcular explícitamente los pesos (multiplicando las masas por g=9.8m/s2). Indica qué es lo que ocurre para que esto sea así. ¿Se mantendría en equilibrio el sistema en la Luna, o cambiaría alguna de sus condiciones? ¿y a bordo de un cohete espacial?
  3. En qué situaciones no se puede llegar al equilibrio (y qué ocurriría en el sistema). Por ejemplo,
    • ¿depende de los valores de las masas?
    • ¿y de la longitud de la cuerda?
    • ¿y de la separación entre las poleas? (Escribe una justificación de las respuestas lo más "matemática"/rigurosa que puedas).
  4. Encuentra algunas condiciones (que no sean exclusivamente casos puntuales) para poder asegurar que el equilibrio se alcanza.
  5. En el applet, se resuelven los ejercicios utilizando dos veces el teorema del coseno. Intenta resolverlos utilizando el teorema del coseno en el primer triángulo y luego el teorema del seno en el segundo triángulo formado en las poleas aprovechando, si es preciso, el valor obtenido para el primer ángulo. Pon ejemplos de ejercicios resueltos así.

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