Te adivino la cifra
El truco
Un mago solicita una persona voluntaria. Le entrega una calculadora y le indica que vaya multiplicando cifras al azar. Después de unas cuantas multiplicaciones le pide que contemple el número obtenido, que escoja una de sus cifras no nulas y que le vaya diciendo de una en una todas las demás.
El mago escucha, piensa unos instantes y responde "la cifra escogida es..."
Explicación del truco
El mago sabe que el número es múltiplo de 9 y conoce el criterio de divisibilidad del 9.
| Sea N un número de n cifras. . Si dividimos por 9 cada uno de los sumandos de la expresión polinómica de N se tiene que y por lo tanto así que N es múltiplo de 9 si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. |
Exploración previa del problema
Un número es múltiplo de 9 si contiene al menos dos factores de 3.
Se clasifican las cifras en:
Si sumamos las probabilidades de las 3 rutas: P(X=2) = 
Si sumamos las 5 rutas tenemos P(X=3)=
En el caso n = 4 el resultado es . El patrón está claro,asi que ya podríamos inducir la fórmula general.
Cálculo por tipo de ruta
Ruta 1 (terminación directa):
En los primeros n − 1 pasos todos son A. En el paso n aparece C.
La probabilidad de la ruta 1 es:
Ruta 2 (acumulación):
En los primeros n − 1 pasos aparece exactamente un B y el resto son A. En el paso n aparece B o C.
Hay n-1 formas de intercalar un solo B en n-1 pasos así que la probabilidad de la ruta 2 es:
Conclusiones
Si sumamos las probabilidades de ambos tipos de ruta llegamos a la función de probabilidad de la variable aleatoria:
Que es el patrón que habíamos observado en el proceso inductivo,
Para obtener la función de distribución tenemos que sumar los términos de una sucesión aritmético - geométrica. El resultado es este:
Si el mago le dice a la persona que maneja la calculadora, "no uses el 1 porque ya sabes lo que pasa cuando multiplicas por 1" entonces las probabilidades de generar múltiplo de 9 aumentan. Las funciones de probabilidad y de distribución en este caso son estas:
En la siguiente aplicación puedes calcular las probabilidades en ambas modalidades de la variable aleatoria.
- Tipo A (0 factores de 3) : {1, 2, 4, 5, 7, 8}, P(A) = 6/9
- Tipo B (1 factor de 3) : {3, 6}, P(B) = 2/9
- Tipo C (2 factores de 3) P(C) = 1/9
- Caso n = 1
- Caso n = 2
Si sumamos las probabilidades de las 3 rutas: P(X=2) = - Caso n = 3
Si sumamos las 5 rutas tenemos P(X=3)=
En el caso n = 4 el resultado es . El patrón está claro,asi que ya podríamos inducir la fórmula general.
Cálculo por tipo de ruta
Ruta 1 (terminación directa):
En los primeros n − 1 pasos todos son A. En el paso n aparece C.
La probabilidad de la ruta 1 es:
Ruta 2 (acumulación):
En los primeros n − 1 pasos aparece exactamente un B y el resto son A. En el paso n aparece B o C.
Hay n-1 formas de intercalar un solo B en n-1 pasos así que la probabilidad de la ruta 2 es:
Conclusiones
Si sumamos las probabilidades de ambos tipos de ruta llegamos a la función de probabilidad de la variable aleatoria:
Que es el patrón que habíamos observado en el proceso inductivo,
Para obtener la función de distribución tenemos que sumar los términos de una sucesión aritmético - geométrica. El resultado es este:
Si el mago le dice a la persona que maneja la calculadora, "no uses el 1 porque ya sabes lo que pasa cuando multiplicas por 1" entonces las probabilidades de generar múltiplo de 9 aumentan. Las funciones de probabilidad y de distribución en este caso son estas:
En la siguiente aplicación puedes calcular las probabilidades en ambas modalidades de la variable aleatoria.