OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE PRODUCCIÓN
OPTIMIZACION
La optimización es útil para identificar los niveles de producción y comercialización más favorables para una empresa, es decir, aquellos que resulten en menores costos, mayores ingresos por lo tanto mayor utilidad.
FUNCION DE COSTO TOTAL
El Costo Total (CT) es la suma del Costo Fijo y el Costo Variable, representando la totalidad de recursos empleados por la empresa, además de los gastos relacionados con diferentes niveles de producción, es factible determinar los gastos por unidad de producto.
Veamos un ejemplo practico:
Supongamos que la función de costos está dada C(x)=20000+40x
FUNCIÓN DE COSTOS C(x)=20000+40x
FUNCIÓN DE INGRESO
En las ecuaciones de demanda, el precio es uno de los factores más importantes a considerar cuando tomamos la decisión de comprar un artículo, mientras más bajo sea su precio, más rápidamente se venden y viceversa.
El ingreso total de la empresa es el resultado de multiplicar el precio por el número de unidades producidas y vendidas. El ingreso marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más.
Siguiendo el mismo ejemplo la función de Ingreso es I(x)=100x-0.01x2
FUNCIÓN DE INGRESO I(x)=100x-0.01x2
FUNCIÓN DE UTILIDAD
La producción y ventas ideales no son las que generan los menores costos, ni las que generan mayores ingresos, sino las que dejan las mayores utilidades.
Las perdidas se encuentran por debajo del eje x, el punto de equilibrio se encuentra en la intersección con este eje (x) y la utilidad se representa por la parte de la gráfica que se encuentra encima del mismo eje x.
Las ganancias no siguen aumentando después de alcanzar el máximo, ya que a partir de ese punto el ingreso disminuye y el costo aumenta, lo que provoca que la diferencia entre ellas, o sea, la utilidad, sea cada vez menor.
Ahora siguiendo el ejemplo practico si necesitamos conocer la función de utilidad de la empresa debemos hacer la resta entre la función de ingreso y la función de costo.
Si tenemos la función de costo en C(x)=20000+40x y la de Ingreso I(x)=100x-0.02x2
quedaría:
U(x)=100x-0.02x2-20000-40x
U(x)=-0.02x2+60x-20000
LA DERIVADA PARA LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN
Ahora vamos a conocer la aplicación de la derivada (función marginal) en este tipo de funciones, la función marginal es la razón de cambio cuando se agrega una cantidad adicional o bien se quita, lo que busca es medir en cambio instantáneo.
Veamos el ejemplo práctico en el que venimos trabajando, tenemos una función de utilidad
U(x)=-0.01x2+60x-20000.
Si derivamos la función nos queda:
U'(x)=-0.02x+60
Esta función obtenida nos sirve para conocer la utilidad que se tiene en un determinado número de unidad, por ejemplo que utilidad tendremos en la unidad #320, solo hacemos una sustitución en los valores de x.
U'(320)=-0.02(320)+60
U'(320)=-6.4+60
U'(320)=53.6
Concluimos que la utilidad marginal en la unidad #320 es de 53.6 a partir de esa unidad la utilidad puede aumentar o disminuir.
Sustituyamos otro valor para ver su comportamiento, unidad #3000
U'(3000)=-0.02(3000)+60
U'(3000)=-60+60
U'(3000)=0
Un último ejemplo unidad #3320
U'(3320)=-0.02(3320)+60
U'(3320)=-66.4+60
U'(3320)=-6.4
Por lo que se entiende que en la unidad #3320 tendremos pérdida.
Estas funciones son de utilidad en las empresas para conocer hasta que número de unidad es conveniente producir para tener solo utilidades y no pérdidas.
En la siguiente gráfica podemos ver por arriba del eje de las x, las unidades puntuales que representan una ganancia y por debajo del eje x las que representan pérdidas para la empresa.