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Noperthedron

Szerző:Javier Cayetano Rodríguez
Témák:Testek
El noperthedro (nombre derivado de no·rupert·hedro) es el primer poliedro convexo para el que se ha demostrado que no tiene la propiedad de Rupert. Esta propiedad viene del problema del príncipe Rupert, que planteaba cuál es el agujero que habría que hacer en un cubo, de manera que el resultando siga siendo conexo y que podamos atravesar el agujero con otro cubo que sea del mayor tamaño posible.
  • Para un poliedro convexo, la propiedad de Rupert estudia si se puede hacer un agujero a través de él y pasar una copia del mismo poliedro a través de dicho agujero.
  • Para muchos poliedros, como el cubo y los demás sólidos platónicos, se ha comprobado que tienen la propiedad de Rupert porque hemos encontrado dónde hacer el agujero por el que se puede traspasar el poliedro. Pero hay otros para los que no se sabe todavía si esto será posible.
  • Se sospecha que el rombicosidodecaedro no tiene la propiedad de Rupert, pero no se ha podido hacer una demostración de que no la tenga. No sabemos si habrá alguna forma de hacer un agujero en alguna parte del poliedro, y a través de él ya sí podamos pasar una copia del rombicosidodecaedro (y por tanto tendrá la propiedad de Rupert). ¡Es difícil probar que algo así nunca se podrá conseguir!
A continuación tenemos el noperthedro, que consta de 90 vértices y tiene simetría central. Después, damos algunos detalles sobre su construcción. Puedes girar la vista 3D arrastrando con el botón derecho del ratón o dos dedos en dispositivos táctiles. Utiliza las casillas para mostrar u ocultar las diferentes partes del poliedro.
  • Podemos cambiar los colores pulsando en los polígonos y luego en el icono de la parte superior derecha.
  • Para mejorar la visualización, hemos usado varios colores, pero se puede colorear usando solo dos, y de forma que si dos polígonos comparten una arista, su color no coincida. ¡Intenta conseguirlo!

Construcción

Según se indica en el artículo de J. Steiniger y S. Yurjevich, donde se presenta el poliedro, para simplificar las comprobaciones fueron buscando un poliedro con simetría central y también rotacional. (*) Aún así, la demostración de que no tiene esta propiedad es sumamente compleja, e incluso necesitó muchas horas de apoyo de cálculos y comprobaciones con ordenadores. Finalmente, el poliedro se define de la siguiente manera:
  • Partimos de tres puntos C1, C2, C3, con ciertas coordenadas (elegidas para que finalmente no se cumpla la propiedad de Rupert).
  • Por cada uno de ellos, generamos otros 15, haciendo giros de alrededor del eje Z. Tenemos así 45 puntos.
  • Obtenemos los simétricos respecto el origen de esos 45 puntos, resultando un total de 90 vértices para el poliedro.
  • Finalmente, se unen mediante polígonos, formando el poliedro convexo mostrado más arriba.
Los puntos iniciales. Esta es la parte más delicada de la construcción, pues de los valores de sus coordenadas depende que finalmente el poliedro no tenga la propiedad de Rupert. El primer punto, se basa en una terna pitagórica. Aprovechando que 1520248842+2101521632=2593752052, se define C1 = , de manera que su distancia al origen es 1. Los puntos C2 y C3 se eligen para que su distancia al origen esté entre 0.98 y 0.99 (no llega a 1). C2 = , C3 = .

Cuestiones

Elementos Como hemos dicho, el poliedro tiene 90 vértices. Fíjate en que hemos utilizado esta construcción mediante simetrías para contar los vértices cómodamente. ¡Hacerlo uno a uno sería bastante complicado! La mayoría de los polígonos que forman el poliedro son triángulos, que al principio podríamos pensar que son isósceles, pero si nos fijamos bien, están un poco "ladeados" (su vértice superior no cae sobre el centro de la base).

  • Está claro que las bases no son triángulos.
  • ¿Cuál es el nombre de ese polígono?
  • Justifica que, además, es un polígono regular.
(*) Recuerda que cuando tienen más de 10 lados (mayor que el decágono), se incluye el pefijo "deca", indicando primero las unidades. Por ejemplo, octa·decá·gono es el polígono con 18 lados. A veces se incluye "kai" entre medias (significa "y" en griego), y sería octa·kai·decá·gono Como curiosidad, para más de 20, se incluye "icosi", aunque no lo vamos a necesitar. El polígono de 23 lados sería el icosi·tri·ágono, o icosi·kai·trí·gono. Vértices, aristas y caras
  • En la construcción podemos ver que hay 6 líneas (contando las tapas) que recorren el poliedro horizontalmente.
    • ¿Cuántos vértices hay en cada una de ellas?
    • ¿Cuántas aristas?
  • ¿Cuántas aristas tiene nuestro poliedro? Indica el método que has usado para contarlas.
  • ¿Cuántas caras tiene nuestro poliedro? Indica el método que has usado para contarlas.
  • Comprueba tus resultados utilizando la fórmula de Euler: Vértices - Aristas + Caras = 2.
Simetrías Hemos construido este poliedro para que tenga simetría central. Pero, por la forma de construirlo, está claro que también tiene simetría rotacional.
  • ¿Cuál sería el eje y cuáles los posibles ángulos?
  • Fíjate en que si hacemos una simetría rotacional y luego la simetría central, resulta una nueva isometría.
  • En total, ¿cuántas simetrías hemos encontrado?
Como hemos dicho, los triángulos que conforman el poliedro no son isósceles. Eso impide que haya simetrías respecto planos verticales.
  • ¿Sabrías justificar esa afirmación apoyándote en el hecho de que las bases son polígonos regulares?

Referencias

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