Besondere Punkte im Dreieck (und im Viereck)

Autor:
Luisa Both
Thema:
Schwerpunkt, Kreis, Umkreis, Allgemeines Viereck, Geometrie, Inkreis, Höhenschnittpunkt, Ebene Figuren, Allgemeine Dreiecke, Besondere Punkte, Dreiecke

Abstract

  • Mathematik, Gymnasium insbesondere Klasse 7 (BW)
  • Dies ist die Dokumentation zu einer Präsentation mit dem Thema „besondere Punkte im Dreieck“, die im Rahmen der Veranstaltung „Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht“ am Karlsruher Institut für Technologie im WS 19/20 vorgestellt wurde.
  • In dieser Dokumentation werden Inhalte aus dieser Präsentation - zwei GeoGebra-Dateien - dargestellt, die für den Mathematikunterricht relevant sein können.
  • Datei 1 befasst sich mit den Beweisen für die Existenz von Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt im Dreieck.
  • Datei 2 befasst sich mit der Existenz von Umkreis- und Inkreis(-mittelpunkt) im Viereck.
  • Beide Dateien eignen sich eher für einen Exkurs oder zur Binnendifferenzierung für schnell Lernende.

Unterrichtsbezug und fachlicher Hintergrund:

Im Gymnasium in Baden-Württemberg lernen die Schülerinnen und Schüler in Klasse 7 zur Leitidee Raum und Form zuerst Ortslinien kennen und anschließend ihr Wissen über Ortslinien anhand des Satz von Thales, des Inkreises usw. anzuwenden. Nach dem Bildungsplan BW 2016 sollen die Schülerinnen und Schüler in Klasse 7/8 auch die Kompetenz erwerben, den Umkreis- und den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks mit Zirkel und Lineal zu konstruieren und die Konstruktion zu begründen. Die vorliegende Beweisdatei mit Arbeitsblatt kann den Schülerinnen und Schülern helfen die bereits erlernte Konstruktion nachzuvollziehen und nun zu begründen. Die GeoGebra-Datei hebt die für den jeweiligen Konstruktions- oder Beweisschritt relevanten Daten hervor, sodass die Anwendenden auf dem Arbeitsblatt einen Lückentext ausfüllen können. Ist der Lückentext ausgefüllt, liegt ein vollständiger Beweis für die Existenz von genau einem Schnittpunkt zum Beispiel der Mittelsenkrechten eines Dreiecks vor. Die zweite Datei befasst sich mit Umkreis und Inkreis im Viereck. Dies ist nicht mehr Inhalt im Bildungsplan, schließt sich aber nahtlos an das Thema Umkreis und Inkreis im Dreieck an.

Kurzbeschreibung der Beweisdatei

Die GeoGebra-Datei und das zugehörige Arbeitsblatt befassen sich mit der Frage, warum jeweils die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden, die Seitenhalbierenden und die Höhen eines Dreiecks genau einen Schnittpunkt haben. Mit anderen Worten: Warum existiert in einem Dreieck ein Umkreismittelpunkt, ein Inkreismittelpunkt, ein Schwerpunkt und ein Höhenschnittpunkt? In der GeoGebra-Datei kann man mit einem Kontrollkästchen auswählen, welchen Beweis man sich ansehen möchte. Zu jedem Schnittpunkt liegt ein Beweis in Textform vor, der auch als Lückentext bearbeitet werden kann. Die GeoGebra-Datei visualisiert die einzelnen Schritte des Beweises mit einem Schieberegler und hebt Wichtiges hervor.

Beweisdatei

Beweis in Textform

Umkreismittelpunkt
  1. Im ersten Schritt wird die Mittelsenkrechte von und gezeichnet. Was gilt für jeden Punkt auf der Mittelsenkrechten ? .
  2. Ebenso gilt für jeden Punkt auf der Mittelsenkrechten : .
  3. Für den Schnittpunkt von und gilt .
  4. Für gilt also insbesondere auch . Deswegen muss auch auf , der Mittelsenkrechten von und liegen.
  5. Ist also von den Eckpunkten des Dreiecks , und gleich weit entfernt. Man kann nun den Umkreis des Dreiecks zeichnen. Welchen Radius besitzt dieser? .
Höhenschnittpunkt
  1. Zeichnet man zu jeder Seite , und die Parallele durch den jeweiligen Eckpunkt , und , erhält man das Dreieck . ist dann das Mittendreieck von .
  2. Die Mittelsenkrechte von und geht durch den Mittelpunkt von . Sie ist außerdem orthogonal zu und damit auch zur Parallelen . erfüllt also genau die Eigenschaften der Höhe . Die Höhe entspricht also der Mittelsenkrechten .
  3. Ebenso entspricht die Mittelsenkrechte der Höhe und die Mittelsenkrechte der Höhe .
  4. Der Umkreismittelpunkt von entspricht also dem Höhenschnittpunkt des Mittendreiecks . Die Höhen besitzen daher aus dem gleichen Grund wie die Mittelsenkrechten genau einen Schnittpunkt.
Inkreismittelpunkt
  1. Im ersten Schritt wird die Winkelhalbierende von gezeichnet. Was gilt für jeden Punkt auf der Winkelhalbierenden ? hat den gleichen Abstand von wie von .
  2. Ebenso hat jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden den gleichen Abstand von und .
  3. Der Schnittpunkt von und hat also den gleichen Abstand von , und .
  4. Insbesondere hat auch den gleichen Abstand von und . Daher muss auch auf , der Winkelhalbierenden von und liegen.
  5. ist dann von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Man kann nun durch die Lote den Inkreis des Dreiecks zeichnen.
Schwerpunkt
  1. Im ersten Schritt spiegelt man die Mittenparallele des Dreiecks am Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und . Es gilt: und .
  2. ist folglich die Mittenparallele des Dreiecks . Deshalb gilt: und .
  3. Die Seitenhalbierende teilt also im Verhältnis .
  4. Ebenso zeigt man, dass auch die Seitenhalbierende im Verhältnis teilt.
  5. Die Seitenhalbierende wird daher von in demselben Punkt geschnitten.

Lückentexte und Vorwissen

Lückentexte.pdf

Lückentexte.pdf

Weitere Hinweise:

Die GeoGebra-Datei kann gegebenenfalls in einer leistungsstarken Klasse eingesetzt werden. Im Besonderen eignet sie sich aber zur Binnendifferenzierung für einzelne starke Schülerinnen und Schüler oder als Material für eine GFS. Sie können anhand der Datei kontrollieren, ob sie die Konstruktion tatsächlich verstanden haben bzw. die Konstruktion des Höhenschnittpunkts oder des Schwerpunkts nachvollziehen. Auch Lehrende können anhand der Datei nochmals nachvollziehen, warum sich die jeweiligen Geraden in einem Punkt schneiden, und so im Unterricht Fragen von Lernenden souverän beantworten.

Kurzbeschreibung der Datei „Umkreis und Inkreis im Viereck“

Die GeoGebra-Datei befasst sich mit der Frage, wann ein Viereck einen Umkreis bzw. einen Inkreis besitzt. In der Datei kann man mithilfe von Kontrollkästchen auswählen, ob man sich den Inkreis oder den Umkreis ansehen möchte. Die Eckpunkte des Vierecks sind beweglich. (Beim Inkreis nur die Eckpunkte und .) Außerdem werden die Maße der Innenwinkel bzw. der Seitenlängen des Vierecks angezeigt, sodass die wichtigen Anhaltspunkte zur Entdeckung des gesuchten Sachverhaltes direkt zu sehen sind. Durch Bewegen der Eckpunkte kann man verschiedene Vierecke erzeugen, die einen Umkreis bzw. einen Inkreis besitzen. Die Schülerinnen und Schüler können zum Entdecken entweder direkt mit der Datei arbeiten oder eine ähnliche Datei selbst erstellen. Ein entsprechender Arbeitsauftrag ist:

Arbeitsauftrag zum Umkreis und Inkreis im Viereck

  1. Zeichne in GeoGebra ein beliebiges Viereck mit Winkeln , , und . Untersuche, wann das Viereck einen Umkreis besitzt. Konstruiere dazu die Mittelsenkrechten der Seiten. Wann schneiden sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt?
  2. Zeichne in GeoGebra ein beliebiges Viereck mit Seiten , , und . Untersuche, wann das Viereck einen Inkreis besitzt. Konstruiere dazu die Winkelhalbierenden der Seiten. Wann schneiden sich alle Winkelhalbierenden in einem Punkt?
Da die Schülerinnen und Schüler verschiedene Tools aus GeoGebra selbst verwenden sollen, eignet sich diese Vorgehensweise eher für Schülerinnen und Schüler, die schon mit GeoGebra vertraut sind.

Musterlösung

  • Ein Viereck besitzt einen Umkreis, wenn die Summe gegenüberliegender Innenwinkel gleich ist.
  • Ein Viereck besitzt einen Inkreis, wenn die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten jeweils gleich sind.
Image

Eine weitere Anregung

Auf der Website zur Lehrerfortbildung Baden-Württemberg befindet sich ein ausgearbeitetes Unterrichtskonzept, dass bei der Einführung der Ortslinien, des Umkreises und des Inkreises binnendifferenziert vorgeht. Dabei wird auch intensiv mit GeoGebra gearbeitet und. Durch verschiedene Bezüge wie einem Computerspiel ist der Sachverhalt außerdem schülernah aufbereitet. https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/gym/bp2016/fb5/3_binnen/1_ortslinie/

Quellen

  • Freudigmann, Hans; Haug, Frieder; Rauscher, Marion u.w. Lambacher Schweizer 7: Mathematik für Gymnasien, Baden Württemberg. 2016
  • Ministerium für Kultus, Jugend und Sport - Baden-Württemberg (Hrsg.). Bildungsplan des Gymnasiums: Mathematik. 2016
  • Benölken, Ralf; Gorski, Hans-Joachim und Müller-Philipp, Susanne. Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. 2018
  • Eisenmann, M. und Göttge-Piller, S.; https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/gym/bp2016/fb5/3_binnen/1_ortlinie; aufgerufen: 10.12.19

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