Problema de Cramer-Castillon
Dada una cónica Γ y tres puntos P, Q y R no situados sobre ella, construir un triángulo inscrito en Γ y cuyos lados, o sus prolongaciones, pasen por los tres puntos dados.
Propuesto por Cramer a Castillon, siendo Γ una circunferencia, fue resuelto por este en 1776, 25 años después de la muerte de Cramer.
La solución que se presenta aqui, mediante haces proyectivos, no es obviamente la de Castillon, los métodos proyectivos se desarrollaron más tarde, pero si es probablemente la más sencilla.
En el artículo «Varias soluciones al problema de Cramer-Castillon» de Francisco Javier García Capitán y José Manuel Sánchez Muñoz, pueden verse ésta y otras soluciones, así como más información sobre la historia del problema.
Cada uno de los puntos {P, Q, R} define una involución proyectiva de Γ, donde a cada punto L de Γ se le asocia la otra intersección L' de la recta que pasa por L y por {P, Q, R} con Γ. Si el punto {P, Q, R} es exterior a Γ, la involución tienen como puntos dobles los de contacto de las tangentes a Γ trazadas desde L; si es interior, carece de puntos dobles.
Si se componen las tres involuciones en un determinado orden, se obtiene otra involución, que asocia a cada punto L de Γ otro L'''. Los puntos dobles de esta involución nos proporcionan uno de los vértices de los triángulos solución T y T'.
Estos puntos dobles son las intersecciones A y A' del eje proyectivo eP de la involución con Γ. Habrá dos soluciones si eP es secante a Γ, una si es tangente y ninguna si es exterior.
Para determinar el eje proyectivo de la involución, necesitamos tres puntos L, M y N, y sus homólogos L''', M''' y N'''. Las intersecciones LM'''∩ML''', LN'''∩NL''' y MN'''∩NM''' están sobre eP. Basta con hallar dos de ellas.
A partir de A y A' no tenemos más que aplicar las proyecciones definidas por los puntos P y Q dados, para obtener los otros vértices de los triángulos solución.
De las seis involuciones que pueden definirse las correspondientes a los puntos P, Q y R, tres son inversas de las otras tres, es decir son iguales, por lo que solo hay tres distintas. Cada una de ellas tiene como eje proyectivo a las rectas AA', BB' y CC', por lo que en definitiva proporcionan las mismas soluciones.
Puede seguirse la construcción paso a paso con los controles de la barra inferior, y en cualquier momento desplazar los puntos P, Q y R o los cinco pequeños puntos blancos que determinan la cónica. En particular puede verse como eP no depende de los puntos L, M y N usados para construirlo. Los puntos {P, Q, R} pueden ser exteriores o interiores a la cónica, pero no estar situados en ella. Si algunos son exteriores, estarán en las prolongaciones de los lados, en lugar de en los propios lados.
Con el ratón, pueden escogerse puntos y desplazarlos, mover toda la figura o hacer zoom de acercamiento o alejamiento.