Allgemeine und natürliche Exponentialfunktion
- Autor:
- KaSchna, Rainer Meyersieck
Probieren Sie ein bisschen aus...
In der Abbildung sehen Sie den Graph von f und den Graph der 1. Ableitung, also f´ einer allgemeinen Exponentialfunktion.
Es handelt sich um Exponentialfunktionen der Form f(x) = . Durch das Betätigen des Schiebereglers können Sie die Basis der Funktion verändern.
a) Verändern Sie den Schieberegler und beobachten Sie, wie sich die Funktionsgraphen verändern. Sie können die eben kennengelernten Zusammenhänge beobachten. Prüfen Sie die Eigenschaften nach.
Beispiele:
Für b>1 gilt: Je größer b desto ...
Oder wie war das mit dem Kehrbruch und der Symmetrie nochmal? Suchen Sie sich einen Wert für b (zu dem später auch der Kehrbruch eingestellt werden kann) und lassen Sie sich die Funktion anzeigen. Machen Sie ein Foto mit Ihrem Handy oder einen Screenshot und stellen Sie dann den Kehrwert für b ein. Und sind die Graphen symmetrisch bezüglich der y-Achse?
b) Betrachten Sie die Ableitungsfunktion. Sie können erkennen, dass auch die Ableitungsfunktion von Exponentialfunktionen wieder eine Exponentialfunktion ist.
Bearbeiten Sie nun noch die folgenden Aufgaben mit Hilfe des Applets.
Aufgabe 1
Was ermitteln Sie, wenn Sie f´(0) ermitteln?
Aufgabe 2
Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Es gilt b = 2. Lassen Sie sich für die Bearbeitung der Aufgabe die Funktion für b = 2 anzeigen.
Aufgabe 3
Es gibt eine ganz besondere Exponentialfunktion, die in der Praxis von großer Bedeutung ist. Sie wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet und hat folgende Eigenschaft:
Bei der natürlichen Exponentialfunktion oder kurz e-Funktion gilt: f = f´
Versuchen Sie herauszufinden, für welche Basis die Graphen von f und f´ übereinstimmen.