Funktionstransformation
- Author:
- raffael.arnold
Das Arbeitsblatt soll den Einfluss der Parameter einer Funktion sichtbar machen.
Bei der linearen Funktion mit y=ax+v ist a mit dy/dx die Steigung der Geraden und v der y-Achsenabschnitt (Verschiebung der Geraden in vertikaler Richtung um den Wert v).
Bei der quadratischen Funktion mit y=a(x-u)^2+v ist der charakteristischste Punkt S der Parabel direkt ablesbar: S=(u;v) und a ist die Streckung respektive die Stauchung der Parabel.
Der Einfluss dieser Parameter kann verallgemeinert werden. Wir sprechen von Transformationsregeln.
Wie wird eine gegebene Funktion f(x) durch die Parameter a, b, u, v in g(x)=a*f(b*(x-u))+v beeinflusst?
Betrachten wir z.B. die einfachste Sinusfunktion mit f(x)=sin(x).
Wie gross müssen a, b, u und v sein, damit g(x)=f(x)? Richtig: a=1, b=1, u=0 und v=0.
Zu dieser Einstellung kommen Sie mit dem Schaltknopf Parameter Reset und mit dem Schaltknopf Sinusfunktion bringen Sie die Sinusfunktion zur Anzeige.
Nun können Sie entweder manuell die Parameter a, b, u, v über die Schieberegler einstellen oder deren Variation über die Schaltknöpfe Animation animieren.
Untersuchen Sie nun genau den Einfluss der einzelnen Parameter und versuchen Sie Ihre Erkenntnisse zu verbalisieren.
Wenn Sie sich mit Wechselstrom oder Akustik auskennen, so können Sie den einzelnen Parametern auch eine physikalische Bedeutung zuweisen.
Überprüfen Sie anschliessend, ob sich Ihre Beobachtungen auch auf die anderen Funktionstypen übertragen lassen.
Richtig, in g(x)=a*sin(b*(x-u))+v bewirkt
v eine vertikale Verschiebung: Gleichspannung, Offset
u eine horizontale Verschiebung: Phasenverschiebung, Phaseshift
a eine vertikale Streckung/Stauchung: Amplitude, Lautstärke, Volume
b eine horizontale Streckung/Stauchung: Frequenz
Diese Wirkungen lassen sich auch an den anderen Funktionstypen bestätigen.
Allgemein in g(x)=a*f(b*(x-u))+v unterscheiden wir die Parameter auch nach ihrer Position in der Funktion. Innere Parameter sind innerhalb f(x) und äussere Parameter sind ausserhalb f(x).
v eine vertikale Verschiebung: äussere Addition
u eine horizontale Verschiebung: innere Addition
a eine vertikale Streckung/Stauchung: äussere Multiplikation
b eine horizontale Streckung/Stauchung: innere Multiplikation
Innere Parameter beeinflussen den x-Wert bevor die eigentliche Funktion wirkt. Die Funktion wird deshalb horizontal (in x-Richtung) beeinflusst.
Äussere Parameter beeinflussen den y-Wert nachdem die eigentliche Funktion wirkt. Die Funktion wird deshalb vertikal (in y-Richtung) beeinflusst.
Addierte Parameter haben verschiebende Wirkung.
Multiplizierte Parameter haben streckende/stauchende Wirkung.
Beurteilen Sie zum Schluss den Zusammenhang zwischen den Parameterwerten und deren Einflussrichtung.
Schlussbemerkung: Nur die Sinusfunktion beinhaltet alle diese vier Parameter, weil nur dort je eine unabhängige Wirkung auszumachen ist.
Bei den anderen Funktionen überlagen sich die Einflüsse der Parameter zum Teil:
Lineare Funktion: a und b sowie u und v
Quadratische Funktion, Exponentialfunktion, Potenzfunktion und Wurzelfunktion: a und b
Mit algebraischen Termumformungen können Sie diese Überlagerungen begründen.