Polinómicas grado 4 con CAS

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Vectores 2D (Bidimensionales), Álgebra, Funciones, Geometría, Gráficas de funciones, Matrices, Funciones polinómicas, Transformacionse geométricas, Vectores
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Veamos por qué no todas las funciones polinómicas de cuarto grado tienen la misma curva primitiva canónica:

y = x4

Usando nuestro método CAS, realizamos los cambios pertinentes:
  • En la Vista Algebraica: F(x, y) = x4 - y (pues ahora la primitiva canónica es y=x4)
  • En la Vista CAS: g(x) := A x4 + B x3 + C x2 + D x + E (que es ahora nuestra función objetivo)
Inmediatamente, comprobamos que GeoGebra nos devuelve el vacío como solución:
  • { }
Pero si retrocedemos una línea en el CAS, observamos que podemos despejar las incógnitas:
  • ax = 1
  • ay = D - B³/(4A)²
  • by = A
  • ox = -B/(4A)
El CAS nos está diciendo que estos valores son necesarios, pero no suficientes. Sustituyendo en los coeficientes estos cuatro valores (ver línea 9 en la construcción), obtenemos que para que todos los coeficientes se anulen es necesario, además que:
  • 3B2-8AC = 0
Es decir, la familia de funciones polinómicas de cuarto grado que pueden ser obtenidas mediante cambio de sistema de referencia a partir de la función y = x4, son todas estas, pero solo estas:

g(x) = A x4 + B x3 + 3B2/(8A) x2 + D x + E

A esta familia no pertenece la función y = x4 - x2, por eso no se puede transformar y = x4 en ella.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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