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Matrizes

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Definição

Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem mxn (lê-se: m por n), sendo m e n.

Exemplo:

Exemplo:

Definições:

Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada por linhas e colunas. Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz. Definição de matrizes: Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas. Representação de matrizes. Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:
  • Colchetes: [ ]
  • Parênteses: ( )
  • Barras Simples: | |
  • Barras Duplas: || ||
Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura. Exemplos: Elementos de uma matrizSeja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos: Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j. Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto as colunas são numeradas da esquerda para a direita. Exemplos:
  • a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1.
  • a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2.
  • a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2.
  • amn representa o elemento da linha m e coluna n.
Seja a matriz assim:
  • a11 representa o elemento 1.
  • a12 representa o elemento 4.
  • a13 representa o elemento 0.
  • a21 representa o elemento -2.
  • a22 representa o elemento 4.
  • a23 representa o elemento 3.
Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos escrevê-la facilmente. Exemplo: Considere a matriz M = [aij]2×3, tal que aij = i + j. Escreva a matriz M. Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas. Assim: Escrevendo os elementos:
  • a11 = 1 + 1 = 2.
  • a12 = 1 + 2 = 3.
  • a13 = 1 + 3 = 4.
  • a21 = 2 + 1 = 3.
  • a22 = 2 + 2 = 4.
  • a23 = 2 + 3 = 5.
Então a matriz M é: Matrizes EspeciaisVamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber. Matriz LinhaÉ uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n) Exemplo: Matriz ColunaÉ uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1) Exemplo: Matriz NulaÉ uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero. Exemplo: Matriz QuadradaÉ uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n Exemplo:

Elementos importantes:

Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, enquanto os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja: Elementos da diagonal principal da matriz A. Elementos da diagonal secundária da matriz A. Observação: Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la matriz retangular. Matriz Diagonal É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. Exemplo: Matriz Identidade: É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n. Exemplos I2 = Matriz identidade de ondem 2 I3 = Matriz identidade de ondem 3 Leia mais sobre matriz identidade. Matriz Oposta: É uma matriz obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A. Exemplo: Considere a matriz A a seguir: Então a matriz oposta -A é: Matriz Transposta: Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At. Exemplo: Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é At = [aij]nxm. Propriedade da transposta: Considere as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
  • (A + B)t = At + Bt
  • (a.A)t = a.At
  • (At)t = A
  • (A.B)t = Bt.At
  • Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual à sua transposta: A = At.
  • Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual à oposta da sua transposta: A = -At.
  • Uma matriz quadrada é ortogonal, se, e somente se, a sua transposta seja igual a sua inversa: At = A-1.

Operações entre Matrizes

Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e vamos ver cada um delas a seguir: Igualdade de MatrizesDuas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij. Exemplo: Adição de Matrizes: Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem. Exemplo: Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja: Propriedades da adição de matrizes: Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
  • Comutativa: A + B = B + A
  • Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
  • Elemento neutro: A + N = N + A = A
  • Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N
  • (A + B)t = At + Bt
Subtração de MatrizesPara fazer a subtração de duas matrizes, devemos subtrair todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem. Exemplo: Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e escrevemos A – B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida subtraindo os elementos correspondentes de A e B. Veja: Multiplicação de um número real por uma MatrizSeja Amxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A. Exemplo:

Propriedades:

Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
  1. 1 . A = A
  2. (-1) x A = -A
  3. a . 0 = 0
  4. 0 . Amxn = 0mxn
  5. a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn
  6. a . (A + B) = a . A + a . B
  7. (a + b) . A = a . A + b . A
Multiplicação entre MatrizesConsiderem as matrizes Amxn e Bnxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, resulta em Cmxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A e da coluna j de B. Exemplo: Considerem as matrizes A e B, então A x B é: Observações importantes:
  1. A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.
  2. A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

Matrizes e Determinantes

determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A. Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento.A = [a] ⇒ det A = a Determinante de uma matriz de ordem 2 Determinante de uma matriz de ordem 3 Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3. Considere a matriz A quadrada de ordem 3: Copiamos a 1ª e a 2ª coluna para a direita da matriz: Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo, colocando o sinal como especificado na imagem: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33 A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de adição e subtração como está especificado. Determinante de matrizes de ordem superior a 3Para matrizes de ordem superior a 3, devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico (Mij). Cofator ou complemento algébrico (Mij)Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, em uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula: Mij = (-1)i + j . Dij Onde i e j são os índices do elemento em questão, e Dij representa o determinante da matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido. Exemplo: Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo: Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos: Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim: Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz resultante, depois que excluímos a linha e coluna para o elemento da posição M23. Teorema de Laplace O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos nos tópicos anteriores, existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de matrizes de ordem menores que 4. Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta.

Identidade

Uma matriz identidade ou unidade é uma matriz que apresenta em sua diagonal principal o elemento 1 e o restante dos elementos são formados por zeros. É representada pela letra maiúscula In, em que n é a ondem da matriz. A matriz identidade é uma matriz quadrada e também é uma matriz diagonal. Uma matriz é diagonal quando os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. E uma matriz é quadrada quando o número de linhas e colunas são iguais. DefiniçãoA matriz In = [aij]n,ni,j = 1 Onde aij = { 1, se i = j e 0, se i ≠ j Exemplo: Matriz de ordem 1: I1 = [1] Matriz de ordem 2: I2 = Matriz de ordem 3: I3 = Matriz de ordem 4: I4 = Bem fácil identificar esse tipo de matriz. Pelos exemplos acima, acredito que o leitor não mais esquece que esse tipo de matriz contém a diagonal formada por números 1 e o restante por 0. Propriedades
  • Uma matriz identidade de ordem n é representada por In. Se n = 2, então chamamos a matriz identidade de ordem 2.
  • Uma multiplicação de uma matriz A qualquer pela matriz identidade In, tem como resultado a matriz A, ou seja: A . In = In . A = A
Para que serve a matriz identidade?Utilizamos as matrizes identidades para resolvermos problemas que envolvem equações matriciais. A operação de divisão entre matrizes não é possível, dessa forma temos que utilizar alguns conceitos matriciais.
  • inversa de uma matriz A é A-1;
  • Se multiplicarmos a matriz A pela sua inversa, A-1, caso exista, resulta na matriz In.
Para encontrar a inversa de uma matriz A, utilizamos uma matriz de ordem In para essa finalidade. Para entender melhor como achar a inversa de uma matriz, leia o nosso artigo sobre o assunto aqui.

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