Matrizes
Definição
Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem mxn (lê-se: m por n), sendo m e n.
Exemplo:
Definições:
Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada por linhas e colunas.
Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz.
Definição de matrizes:
Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.
Representação de matrizes.
Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:
Elementos de uma matrizSeja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos:
Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.
Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto as colunas são numeradas da esquerda para a direita.
Exemplos:
assim:
Matrizes EspeciaisVamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.
Matriz LinhaÉ uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n)
Exemplo:
Matriz ColunaÉ uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1)
Exemplo:
Matriz NulaÉ uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.
Exemplo:
Matriz QuadradaÉ uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n
Exemplo:
- Colchetes: [ ]
- Parênteses: ( )
- Barras Simples: | |
- Barras Duplas: || ||
Elementos de uma matrizSeja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos:
Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.
Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto as colunas são numeradas da esquerda para a direita.
Exemplos:
- a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1.
- a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2.
- a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2.
- amn representa o elemento da linha m e coluna n.
assim:
- a11 representa o elemento 1.
- a12 representa o elemento 4.
- a13 representa o elemento 0.
- a21 representa o elemento -2.
- a22 representa o elemento 4.
- a23 representa o elemento 3.
- a11 = 1 + 1 = 2.
- a12 = 1 + 2 = 3.
- a13 = 1 + 3 = 4.
- a21 = 2 + 1 = 3.
- a22 = 2 + 2 = 4.
- a23 = 2 + 3 = 5.
Matrizes EspeciaisVamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.
Matriz LinhaÉ uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n)
Exemplo:
Matriz ColunaÉ uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1)
Exemplo:
Matriz NulaÉ uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.
Exemplo:
Matriz QuadradaÉ uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n
Exemplo:
Elementos importantes:
Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, enquanto os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:
Elementos da diagonal principal da matriz A.
Elementos da diagonal secundária da matriz A.
Observação:
Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la matriz retangular.
Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos.
Exemplo:
Matriz Identidade:
É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n.
Exemplos
I2 = Matriz identidade de ondem 2
I3 = Matriz identidade de ondem 3
Leia mais sobre matriz identidade.
Matriz Oposta:
É uma matriz obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.
Exemplo:
Considere a matriz A a seguir:
Então a matriz oposta -A é:
Matriz Transposta:
Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At.
Exemplo:
Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é At = [aij]nxm.
Propriedade da transposta:
Considere as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
Elementos da diagonal principal da matriz A.
Elementos da diagonal secundária da matriz A.
Observação:
Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la matriz retangular.
Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos.
Exemplo:
Matriz Identidade:
É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n.
Exemplos
I2 = Matriz identidade de ondem 2
I3 = Matriz identidade de ondem 3
Leia mais sobre matriz identidade.
Matriz Oposta:
É uma matriz obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.
Exemplo:
Considere a matriz A a seguir:
Então a matriz oposta -A é:
Matriz Transposta:
Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At.
Exemplo:
Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é At = [aij]nxm.
Propriedade da transposta:
Considere as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
- (A + B)t = At + Bt
- (a.A)t = a.At
- (At)t = A
- (A.B)t = Bt.At
- Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual à sua transposta: A = At.
- Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual à oposta da sua transposta: A = -At.
- Uma matriz quadrada é ortogonal, se, e somente se, a sua transposta seja igual a sua inversa: At = A-1.
Operações entre Matrizes
Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e vamos ver cada um delas a seguir:
Igualdade de MatrizesDuas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij.
Exemplo:
Adição de Matrizes:
Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.
Exemplo:
Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja:
Propriedades da adição de matrizes:
Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
Multiplicação de um número real por uma MatrizSeja Amxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.
Exemplo:
Adição de Matrizes:
Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.
Exemplo:
Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja:
Propriedades da adição de matrizes:
Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
- Comutativa: A + B = B + A
- Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemento neutro: A + N = N + A = A
- Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N
- (A + B)t = At + Bt
Multiplicação de um número real por uma MatrizSeja Amxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.
Exemplo:
Propriedades:
Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
Observações importantes:
- 1 . A = A
- (-1) x A = -A
- a . 0 = 0
- 0 . Amxn = 0mxn
- a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn
- a . (A + B) = a . A + a . B
- (a + b) . A = a . A + b . A
Observações importantes:
- A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.
- A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.
Matrizes e Determinantes
O determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A.
Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento.A = [a] ⇒ det A = a
Determinante de uma matriz de ordem 2
Determinante de uma matriz de ordem 3
Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3.
Considere a matriz A quadrada de ordem 3:
Copiamos a 1ª e a 2ª coluna para a direita da matriz:
Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo, colocando o sinal como especificado na imagem:
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33
A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de adição e subtração como está especificado.
Determinante de matrizes de ordem superior a 3Para matrizes de ordem superior a 3, devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico (Mij).
Cofator ou complemento algébrico (Mij)Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, em uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:
Mij = (-1)i + j . Dij
Onde i e j são os índices do elemento em questão, e Dij representa o determinante da matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.
Exemplo:
Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo:
Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos:
Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim:
Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz resultante, depois que excluímos a linha e coluna para o elemento da posição M23.
Teorema de Laplace
O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos nos tópicos anteriores, existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de matrizes de ordem menores que 4.
Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta.
Determinante de uma matriz de ordem 3
Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3.
Considere a matriz A quadrada de ordem 3:
Copiamos a 1ª e a 2ª coluna para a direita da matriz:
Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo, colocando o sinal como especificado na imagem:
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33
A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de adição e subtração como está especificado.
Determinante de matrizes de ordem superior a 3Para matrizes de ordem superior a 3, devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico (Mij).
Cofator ou complemento algébrico (Mij)Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, em uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:
Mij = (-1)i + j . Dij
Onde i e j são os índices do elemento em questão, e Dij representa o determinante da matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.
Exemplo:
Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo:
Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos:
Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim:
Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz resultante, depois que excluímos a linha e coluna para o elemento da posição M23.
Teorema de Laplace
O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos nos tópicos anteriores, existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de matrizes de ordem menores que 4.
Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta.
Identidade
Uma matriz identidade ou unidade é uma matriz que apresenta em sua diagonal principal o elemento 1 e o restante dos elementos são formados por zeros. É representada pela letra maiúscula In, em que n é a ondem da matriz.
A matriz identidade é uma matriz quadrada e também é uma matriz diagonal. Uma matriz é diagonal quando os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. E uma matriz é quadrada quando o número de linhas e colunas são iguais.
DefiniçãoA matriz In = [aij]n,ni,j = 1
Onde aij = { 1, se i = j e 0, se i ≠ j
Exemplo:
Matriz de ordem 1: I1 = [1]
Matriz de ordem 2: I2 =
Matriz de ordem 3: I3 =
Matriz de ordem 4: I4 =
Bem fácil identificar esse tipo de matriz. Pelos exemplos acima, acredito que o leitor não mais esquece que esse tipo de matriz contém a diagonal formada por números 1 e o restante por 0.
Propriedades
Matriz de ordem 3: I3 =
Matriz de ordem 4: I4 =
Bem fácil identificar esse tipo de matriz. Pelos exemplos acima, acredito que o leitor não mais esquece que esse tipo de matriz contém a diagonal formada por números 1 e o restante por 0.
Propriedades- Uma matriz identidade de ordem n é representada por In. Se n = 2, então chamamos a matriz identidade de ordem 2.
- Uma multiplicação de uma matriz A qualquer pela matriz identidade In, tem como resultado a matriz A, ou seja: A . In = In . A = A
- A inversa de uma matriz A é A-1;
- Se multiplicarmos a matriz A pela sua inversa, A-1, caso exista, resulta na matriz In.
Saiba +
