Sección 1.8 - El círculo de nueve puntos (Ejercicios)
Ejercicio 1
El cuadrilátero AKA'O (primero figura en la previa sección) es un paralelogramo.
Respuesta:
AK extendido es perpendicular a BC.
OA' es perpendicular a BC (o está en la misma recta que H).
Entonces OA' es paralela a AK.
Por lo tanto, , por el teorema, así que si 2 lados paralelos son congurnetes entonces es un paralelogramo.
Ejercicio 2
En la siguiente figura, los puntos K, L, M bisecan sus arcos respectivos , , .
Respuesta:
biseca a si . Podemos ver que ambos arcos están formados por y , ambos inscritos. Además, si se toma un segmento tendremos que este pasa por el ortocentro . Si visitamos al Teorema 1.61, este nos dice que será el centro de círculo inscrito de . Entonces bisecará a . Entonces, . Por lo tanto, los arcos son iguales.
Un proceso similar se trabaja para con y para con .
Ejercicio 3
El circuncírculo de es el círculo de nueve puntos de .
Respuesta:
En este ejercicio basta con notar que es el triángulo órtico de . Por lo tanto, es el círculo de 9 puntos de .
Otra alternativa para este ejercicio es notar que A, B y C son los pies de las alturas de , es el órtico, y que son los puntos medios de los segmentos de los vértices al ortocentro.
Ejercicio 4
Sean tres círculos congruentes con un punto en común encontrarse nuevamente en tres puntos , y . Entonces el radio común de los tres círculos dados es igual al circunradio de y su punto común es el ortocentro.
Ejercicio 5
El círculo de 9 puntos corta a los lados del triángulo en los ángulos .
Respuesta:
Observando la figura, tenemos que (por su altura). Como es un segmento de , tenemos que .
es el diámetro. Notemos que y son iguales porque ambos abren al mismo arco .
y son proporcionales 2:1, al igual que y , por lo que y deben ser semejantes porque comparten y los lados entre el ángulo son proporcionales.
y por el cuarto ejercicio de la sección del triángulo órtico, tenemos que
Similarmente para y