Aufgabe: Der Differentialquotient
Wiederholung
In der letzten Unterrichtsstunde haben wir nach der Geschwindigkeit eines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt (7s) gesucht. Dazu haben wir in das Diagramm der Funktion immer kleiner werdende Steigungsdreiecke eingezeichnet. Dazu ergaben sich die Rechnungen:
Dabei haben wir erkannt, dass alle Werte immer näher an 84 gekommen sind. Heute wollen wir herausfinden, wie wir die exakte Steigung berechnen können, indem wir das Steigungsdreieck "unendlich klein" machen!
Der Differentialquotient
Statt eines konkreten Wertes (6; 6,9; ...) wollen wir erst einmal ganz allgemein (7-h) einsetzen, wobei h eine sehr kleine Zahl sein soll. Daraus ergibt sich erst einmal folgende Rechnung:
Setzen wir dann unsere Funktion für ein, können wir diesen Term vereinfachen:
Wenn wir nun also h immer kleiner werden lassen, so ergibt sich insgesamt (wie wir erwartet haben!) die Steigung . Dieses Ergebnis nennen wir die Ableitung von an der Stelle . Man schreibt:
Achtung: Wir mussten die obigen Rechenschritte machen, bevor wir einsetzen konnten. Ansonsten würde im Bruch nur stehen, woraus wir keine neue Erkenntnis bekommen können.
Aufgabe 1
a) Vollziehe diese Rechnung nach, indem du alle Rechenschritte einmal selbst notierst und jeden Schritt in einem Stichwort (2-3 Wörter) beschreibst.
b) Berechne analog die Ableitung von an der Stelle
Aufgabe 2
Untersuche nun die Funktion .
a) Berechne die Ableitungen und .
b) Zeichne die 4 Ergebnisse (als Punkte mit den Koordinaten ) in ein Koordinatensystem ein.
c) Was stellst du fest? Stelle eine Hypothese für den Wert auf und berechne ihn anschließend, um deine Vermutung zu überprüfen.