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Circunferência dos 9 pontos

Author:Matemática? Absolutamente!

Investigação

Na apliqueta seguinte estão construídos:
  • o triângulo ;
  • o ortocentro, , do triângulo .
  1. Constrói os pontos de Euler do triângulo (pontos médios entre o ortocentro e cada um dos vértices).
  2. Constrói o triângulo definido pelos pontos de Euler .
  3. Constrói as circunferêncis circunscrita e o respetivo centro ().
  4. Constrói a circunferência dos 9 pontos e o respetivo centro ().
Modifica o triângulo inicial arrastando os vértices.
  • Observas alguma relação interessante entre os dois triângulos? (Pode ser mais fácil visualizar a relação se o triângulo for obtusângulo, e se traçares as semiretas com origem no ortocentro e que contêm cada um dos vértices).
  • Consegues estabelecer uma relação entre as duas circunferências?
  • Consegues relacionar as distâncias e ?

Conjetura

Descreve:

  • a relação entre os dois triângulos da forma mais detalhada que conseguires;
  • a relação entre as duas circunferências;
  • a relação entre as distâncias e .

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Demonstração

Precorre as seguintes etapas

  1. Justifica que os dois triângulos são semelhantes e que a razão de semelhança é 2 (ou ).
  2. Relaciona a homotetia descrita com as duas circunferências.
  3. Ralaciona a homotetia descrita com os pontos e .

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