Hyperbolischer Fall

Die Kreise a, b, c können mit Hilfe der Randpunkte auf K₀ bewegt werden.

Diese Aktivität ist eine Seite des gegebra-books APOLLONIOS circles & conics (November 2018)

Zu den drei vorgegebenen Kreisen a, b, c werden für jeden denkbaren Fall die Symmetrie-Kreise konstruiert. a, b, c sind orthogonal zu K₀, die Symmetrie-Kreise sind es ebenfalls. Alle diese Kreise sind im POINCARÉschen Kreisscheibenmodell also hyperbolische GERADEN.

Gesucht werden berührende Kreise: dies ist das Problem des APOLLONIOS für den vorliegenden hyperbolischen Spezialfall.

Schneiden sich die Symmetrie-Kreise in einem gemeinsamen Punkt, so vertauschen die Spiegelungen an den Symmetrie-Kreisen die vorgegebenen Kreise. Berührt ein Kreis einen der Kreise a, b, oder c, so berührt er auch die anderen 2 Kreise. Ein solcher Berührkreis ist auch in der hyperbolischen Ebene ein KREIS: das ist die Menge aller Punkte, die vom MITTELPUNKT des KREISES denselben hyperbolischen Abstand besitzen. Der MITTELPUNKT ist hier der Symmetrie-Punkt. Es gibt aber auch den Fall, dass 3 Symmetrie-Kreise zu a,b, b,c und c,a in einem elliptischen Kreisbüschel liegen. Die Büschelpunkte dieses elliptischen Kreisbüschels liegen auf K₀. Der Berührkreis ist dann eine Abstandslinie der hyperbolischen GERADEN mit den Büschelpunkten als Randpunkten. Auch in diesem Fall kann man einen Berührkreis konstruieren. Die Figur ist symmetrisch zum absoluten Kreis K₀, daher treten die Berührkreise immer paarweise auf! Wie konstruiert man die Berührpunkte? Im Prinzip ist es dasselbe Verfahren wie für die Dreiecke in der euklidische Ebene: zu den Seiten des Dreiecks konstruiert man die Winkelhalbierenden. Die Berührpunkte für den Innenkreis, bzw. für die Ankreise findet man, in dem man von den Winkelhalbierenden-Schnittpunkten die Lote auf die Dreiecksseiten fällt! Betrachtet man im obigen Applet den Grenzfall, dass die 3 GERADEN in 3 Randpunkte übergehen, so findet man als einzigen Berührkreis der 3 Punktkreise den absoluten Kreis K₀, dieser ist dann der Umkreis des entstehenden Dreiecks. Auch die Grenzfälle 1 Punkte - 2 Kreise bzw. 2 Punkte - 1 Kreis kann man mit dem Applet erkunden!

Man vergleiche auch das geogebra-books kugel-dreiecke (August 2018)

Hyperbolischer Fall

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