ANÁLISE ALGÉBRICA/GEOMÉTRICA DAS RAÍZES

INTRODUÇÃO Agora que você realizou as atividades investigativas iniciais, passaremos a analisar com mais atenção as raízes de uma função polinomial do 2º grau. Nesta seção, aprenderemos como determinar se uma função quadrática possui duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou não possui raízes reais. Para realizar essa análise, utilizaremos a fórmula quadrática, tradicionalmente empregada na resolução de equações do segundo grau. Inicialmente, serão apresentados os principais conceitos teóricos relacionados ao cálculo das raízes de uma função quadrática. Nas subseções seguintes, analisaremos diferentes funções e investigaremos, por meio de cálculos algébricos, a quantidade e o tipo de raízes de cada uma delas.

A fórmula quadrática é uma ferramenta fundamental para resolver equações quadráticas, permitindo encontrar as raízes de qualquer função polinomial do 2° grau da forma . Ela é especialmente importante porque fornece uma solução direta e precisa, seja para raízes reais distintas, iguais ou para identificar quando não existem raízes reais. Com ela, podemos analisar funções quadráticas de forma precisa, verificar o comportamento de seus gráficos e aplicar o conhecimento em diversas áreas da matemática e da física.

Considere, agora, uma função polinomial do 2° grau (função quadrática) da forma:

e é chamado de discriminante (conhecido por "DELTA") da equação do segundo grau. O valor do discriminante permite determinar a quantidade e o tipo de raízes da função quadrática.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ INTERPRETAÇÃO ANALÍTICA/GEOMÉTRICA DO DISCRIMINANTE Agora, vamos aprender a analisar se uma função quadrática possui duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real, apenas calculando o discriminante (delta) de algumas funções quadráticas.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Para iniciar o estudo, considere a seguinte função polinomial do 2º grau: Logo abaixo, está representado o gráfico dessa função.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CASO 01 - DISCRIMINANTE MAIOR QUE ZERO Observando o gráfico acima, vemos que a função intercepta o eixo nos pontos e , o que indica que ela possui duas raízes reais distintas; isso significa que o discriminante é maior que zero, e podemos confirmar isso de forma analítica calculando e verificando que o resultado é realmente positivo. Vamos calcular?

Como observado acima, encontramos que , desse modo, podemos afirmar que a função possui duas raízes reais e distintas.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CASO 02 - DISCRIMINANTE IGUAL A ZERO  Agora, vamos analisar o caso em que o discriminante é igual a zero. Nesse caso, o gráfico da função quadrática toca o eixo em apenas um ponto, e dizemos que a função possui duas raízes reais iguais. Assim, ao calcular , verificaremos que seu valor é exatamente zero. Antes de fazermos o cálculo, vamos observar o gráfico da função e analisar graficamente, para depois confirmar de forma analítica. Vamos lá?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Observando o gráfico acima, percebemos que a parábola toca o eixo em apenas um ponto , o que indica que, ao calcular o discriminante , encontraremos o valor zero . Dessa forma, podemos concluir que a função possui duas raízes reais iguais. Agora que analisamos o gráfico, vamos demonstrar de forma analítica que delta é realmente zero. De modo análogo ao caso anterior, teremos:

Como observado acima, encontramos que , desse modo, podemos afirmar que a função possui duas raízes reais e iguais. Por fim, vamos analisar o caso em que o discriminante é menor que zero. Você consegue antecipar o que isso significa para a função e suas raízes?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CASO 03 - DISCRIMINANTE MENOR QUE ZERO Agora, vamos analisar o caso em que o discriminante é negativo, ou seja, menor que zero. Nesse caso, a parábola não toca o eixo x em nenhum ponto, o que nos permite concluir que a função quadrática não possui raízes reais. Observe o gráfico de uma função que segue esse princípio e faça suas próprias análises quanto a este caso.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Observando o gráfico acima, percebemos que a parábola não toca o eixo em nenhum ponto , o que indica que, ao calcular o discriminante , encontraremos um valor menor que zero . Dessa forma, podemos concluir que a função quadrática não possui raízes reais.

Agora que analisamos o gráfico, vamos demonstrar de forma analítica que delta é realmente menor que zero. De modo análogo aos casos anteriores, teremos:

 Como observado acima, encontramos que , desse modo, podemos afirmar que a função não possui raízes reais. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

FAÇA EM SEU CADERNO Após as análises realizadas, construa uma tabela que relacione o discriminante de uma equação do segundo grau com a existência e a quantidade de suas raízes reais.

Nesta próxima etapa, vamos dar um passo importante: a análise gráfica das raízes de uma função quadrática. A ideia é entender, de forma visual, o que realmente significa uma raiz no gráfico de uma parábola — e como isso se conecta com o que já aprendemos até agora. Com isso, você vai conseguir enxergar a Matemática de um jeito mais claro e intuitivo. Bons estudos!