M Jg. 9 | Quadratische Funktionen mit Angry Birds
- Angry Birds ist eines der erfolgreichsten Videospiele aller Zeiten.
- Zur Geschichte hinter Angry Birds: „Angry Birds - Wütende Vögel“ im SZ Magazin
- Kritisch zu beleuchten wäre die Frage des Tierwohls.
Das Spiel kam im Dezember 2009 als iPhone-App auf den Markt. Anfangs passierte nicht viel. Eine Handvoll Finnen luden es sich herunter. Dann ein paar Schweden. Aber dann kletterte das Spiel auf Platz eins der meistverkauften Apps, erst in Skandinavien, dann in England. Kurz darauf grassierte das Angry Birds-Virus weltweit. Die Entwicklung hatte gerade mal 110 000 Euro gekostet. Im November 2011 vermeldete Rovio eine halbe Milliarde Downloads. (SZ, s. o.)
Ein Arbeitsblatt der Fachschaft Mathematik am Helmholtz-Gymnasium Bielefeld (Fbg, Pör)
Aufgabe 1
In dieser Aufgabe geht es um das Applet: 
Einstieg mit Angry Birds
a) Verändere die Punkte im Applet so, dass der wütende Vogel das Schweinchen trifft und notiere die Funktionsgleichung der Flugbahn.
b) Die Form dieser Gleichung nennt man Normalform. Gib vier verschiedene Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in Normalform an, bei denen der Vogel das Schweinchen trifft.
c) Gib eine Gleichung zu einer Parabel an, die zwar mathematisch passt, aber physikalisch unrealistisch ist. (Es sei denn, es handelt sich um den Puzzle Farter oder den Durchfallmann.)
Einstieg mit Angry Birds
a) Verändere die Punkte im Applet so, dass der wütende Vogel das Schweinchen trifft und notiere die Funktionsgleichung der Flugbahn.
b) Die Form dieser Gleichung nennt man Normalform. Gib vier verschiedene Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in Normalform an, bei denen der Vogel das Schweinchen trifft.
c) Gib eine Gleichung zu einer Parabel an, die zwar mathematisch passt, aber physikalisch unrealistisch ist. (Es sei denn, es handelt sich um den Puzzle Farter oder den Durchfallmann.)
Einstieg mit Angry Birds
Aufgabe 2
Um quadratische Funktionen besser zu verstehen, schauen wir uns in den nächsten Stunden erst einmal eine andere Form an und zwar die Scheitelpunktform.
Jetzt geht es um das Applet unten: Angry Birds mit der Scheitelpunktform I
a) Verändere den Graphen der Funktion mit den Schiebereglern so, dass der Vogel in der Zwille das grüne Schweinchen trifft. Notiere die Funktionsgleichung im Heft in den beiden Arten, wie man Funktionsgleichungen notiert: ... und ...
b) Notiere, was die Parameter a, d und e bewirken, indem du die folgenden Lücken ausführlich ergänzt.
Merkkasten
Gegeben ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform:
Der Parameter a bewirkt für ..
Angry Birds mit der Scheitelpunktform I
a) Verändere den Graphen der Funktion mit den Schiebereglern so, dass der Vogel in der Zwille das grüne Schweinchen trifft. Notiere die Funktionsgleichung im Heft in den beiden Arten, wie man Funktionsgleichungen notiert: ... und ...
b) Notiere, was die Parameter a, d und e bewirken, indem du die folgenden Lücken ausführlich ergänzt.
Merkkasten
Gegeben ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform:
Der Parameter a bewirkt für ..
- a > 0 eine Öffnung der Parabel nach ...
- a < –1 eine Öffnung der Parabel nach ...
- a > 1 oder a < –1 eine ...
- für –1 < a < 1 eine ... , außer im Fall a = 0. Denn bei a = 0 handelt es sich nicht um eine quadratische Funktion.
- Bei a = 1 spricht man von einer ...
- d > 0, z. B. , eine Verschiebung der Parabel um ... Einheiten nach ...
- d < 0, z. B. , eine Verschiebung der Parabel um ... Einheiten nach ...
- e > 0 eine Verschiebung der Parabel um ... Einheiten nach ...
- e < 0 eine Verschiebung der Parabel um ... Einheiten nach ...
Angry Birds mit der Scheitelpunktform I
Aufgabe 3
Jetzt geht es um das Applet unten: 
Angry Birds mit der Scheitelpunktform II
Wähle eine der beiden gestrichelten Flugbahnen aus.
a) Verändere den Graphen der Funktion f mit den Schiebereglern so, dass er der gewählten Flugbahn des Vogels entspricht und eines der Schweinchen trifft.
b) Öffne die App 
GeoGebra-Grafikrechner. Gib dort den Funktionsterm (nicht die Funktionsgleichung!) ein und lege eine Wertetabelle mit den Werten 0, 1, 2, ..., 15, 16 an. Dazu klickst du im Algebra-Menü neben der Funktion auf die drei Punkte und dann auf „Wertetabelle“. Speichere einen Screenshot der Wertetabelle im Heft.
Angry Birds mit der Scheitelpunktform II
Wähle eine der beiden gestrichelten Flugbahnen aus.
a) Verändere den Graphen der Funktion f mit den Schiebereglern so, dass er der gewählten Flugbahn des Vogels entspricht und eines der Schweinchen trifft.
b) Öffne die App GeoGebra-Grafikrechner. Gib dort den Funktionsterm (nicht die Funktionsgleichung!) ein und lege eine Wertetabelle mit den Werten 0, 1, 2, ..., 15, 16 an. Dazu klickst du im Algebra-Menü neben der Funktion auf die drei Punkte und dann auf „Wertetabelle“. Speichere einen Screenshot der Wertetabelle im Heft.
Aufgabe 4
Es geht weiterhin um das Applet unten: Angry Birds mit der Scheitelpunktform II
Gegeben ist eine Flugbahn des wütenden Vogels Heribert durch die Funktionsgleichung . Eine Einheit steht für .
Eine Drohne fliegt am Punkt , um die Schweine vor den wütenden Vögeln zu beschützen.
a) Bestimme mit Hilfe einer Punktprobe, ob der Vogel die Drohne trifft und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
b) Eine KI-Drohne entscheidet zur Schonung des Akkus, im Nullpunkt zu landen. Bestimme mit Hilfe einer Punktprobe, ob die Drone dort den wütenden Vogel Heribert am Start blockiert.
---
c) Bestimme, auf welcher Höhe eine Drohne mit der x-Koordinate x = 8 fliegen müsste, um auf Heriberts Flugbahn zu fliegen.
d) Bestimme, auf welcher Höhe eine Drohne mit der x-Koordinate x = 2 fliegen müsste, um auf Heriberts Flugbahn zu fliegen.
e) Ergänze die folgenden Merksätze und die Beispielrechnung.
Merkkasten
Eine Punktprobe funktioniert so: ...
Wenn man den x-Wert einer Funktion kennt (hier der vertikale Abstand zur Zwille), dann kann man den y-Wert (hier die Flughöhe) so ausrechnen: ...
Beispiel: , , ...
Angry Birds mit der Scheitelpunktform II
Gegeben ist eine Flugbahn des wütenden Vogels Heribert durch die Funktionsgleichung . Eine Einheit steht für .
Eine Drohne fliegt am Punkt , um die Schweine vor den wütenden Vögeln zu beschützen.
a) Bestimme mit Hilfe einer Punktprobe, ob der Vogel die Drohne trifft und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
b) Eine KI-Drohne entscheidet zur Schonung des Akkus, im Nullpunkt zu landen. Bestimme mit Hilfe einer Punktprobe, ob die Drone dort den wütenden Vogel Heribert am Start blockiert.
---
c) Bestimme, auf welcher Höhe eine Drohne mit der x-Koordinate x = 8 fliegen müsste, um auf Heriberts Flugbahn zu fliegen.
d) Bestimme, auf welcher Höhe eine Drohne mit der x-Koordinate x = 2 fliegen müsste, um auf Heriberts Flugbahn zu fliegen.
e) Ergänze die folgenden Merksätze und die Beispielrechnung.
Merkkasten
Eine Punktprobe funktioniert so: ...
Wenn man den x-Wert einer Funktion kennt (hier der vertikale Abstand zur Zwille), dann kann man den y-Wert (hier die Flughöhe) so ausrechnen: ...
Beispiel: , , ...Angry Birds mit der Scheitelpunktform II
Aufgabe 5
a) Auf der Höhe 40 Meter wird eine Stromtrasse errichtet. Bestimme, ob und wenn ja an welchen Stellen Heribert mit der Stromtrasse kollidiert.
b) Bestimme, an welchen Stellen Heribert genau die Flughöhe 20 Meter hat.
Extra: Bestimme die niedrigstmögliche Höhe der Stromtrasse, sodass Heribert einen sicheren Flug hat.
Merkkasten
Wenn man den y-Wert einer Funktion kennt (hier die Flughöhe), dann kann man den y-Wert (hier der vertikale Abstand zur Zwille) so ausrechnen: ...
Beispiel: , , ...
Merkkasten
Wenn man den y-Wert einer Funktion kennt (hier die Flughöhe), dann kann man den y-Wert (hier der vertikale Abstand zur Zwille) so ausrechnen: ...
Beispiel: , , ...Aufgabe 6
a) Die Flugbahn des wütenden Vogels Annegret wird durch die Funktionsgleichung in Normalform mit beschrieben.
b) Die Flugbahn des wütenden Vogels Rudolf wird durch die Funktionsgleichung in Normalform mit beschrieben.
Bestimme für beiden Flugbahnen:Merksatz zu quadratischer Ergänzung: „Erst halbieren, dann quadrieren.“
- den Streckfaktor und den y-Achsenabschnitt (durch Ablesen!)
- den Scheitelpunkt der Flugbahn (durch Umformung in die Scheitelpunktform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung).
Merksatz zu quadratischer Ergänzung: „Erst halbieren, dann quadrieren.“Wo kracht's?
Aufgabe 7 | Gruppen A
Ein Vogel startet im Punkt und hat seinen höchsten Punkt (Scheitelpunkt) im Punkt .
Aufgabe:
Bestimme rechnerisch den Punkt, an dem der Vogel auf dem Boden aufkommt. (Wir nehmen an, die x-Achse entspricht dem Boden.)
Schritte zum Vorgehen:
1. Nimm die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform als Ausgangspunkt: . Drei der vier Variablen sind aus der Aufgabenstellung bekannt. Setze die Werte in die Gleichung ein und löse nach auf.
2. Notiere die Funktionsgleichung in der Form mit den Werten der Parameter , und . (Ein Kontrollergebnis findest du unten auf der Seite.)
3. Bestimme die Nullstelle der Funktion. Dafür setzt du und bestimmst den Wert für x.
4. Verifiziere dein Ergebnis mit Hilfe von GeoGebra.
Tipp:
Lies im Schulbuch auf S. 55 die Erklärungen zum „Aufstellen von Funktionsgleichungen mithilfe der Scheitelpunktform“.
Vertiefende Aufgabe:
Der Vogel startet im Punkt und hat seinen höchsten Punkt (Scheitelpunkt) im Punkt . Bestimme rechnerisch den Punkt, an dem der Vogel auf dem Boden aufkommt.
Aufgabe 7 | Gruppen B
Ein Vogel fliegt auf der Höhe 1 durch die y-Achse (d. h. ). Weiterhin fliegt er durch die Punkte und .
Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung der Flugbahn! Ermittele anschließend mithilfe von GeoGebra die Stelle, an der der Vogel auf dem Boden auftrifft.
Schritte zum Vorgehen:
1. Nimm die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Normalform als Ausgangspunkt: . Den Wert des Parameters kennst du aus der Aufgabenstellung, setze ihn in die Gleichung ein.
2. Stelle ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf. Für die Gleichung I: Setze den Punkt P in die Funktionsgleichung ein. Für die Gleichung II: Setze den Punkt Q in die Funktionsgleichung ein. Löse dieses Gleichungssystem.
3. Notiere die Funktionsgleichung mit den Werten für die Parameter a, b und c.
Tipp:
Lies im Schulbuch auf S. 55 die Erklärungen zum „Aufstellungen von Funktionsgleichungen mithilfe der Scheitelpunktform“.
Vertiefende Aufgabe:
Ein Vogel fliegt durch die Punkte , und .
Bestimme die Normalform und beurteile, ob es sich realistischerweise um die Flugbahn eines Vogels handeln kann.
Selbstkontrolle
Gruppe 7A: ,
Gruppe 7B: ,