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Circunferencia unitaria 4°B

Author:Rodrigo Ibañez

Objetivos:

  • Describir las coordenadas de puntos en la circunferencia unitaria.
  • Describir el objeto matemático de radián.
  • Convertir radianes a grados sexagesimales.
  • Relacionar las coordenadas de la circunferencia unitaria con las funciones coseno y seno.

Conocimientos previos:

¿En qué tipo de triángulos siempre se puede utilizar las razones trigonométricas?

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En un triángulo rectángulo, ¿qué tipo de ángulo deben ser los ángulos que no son rectos?

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Define qué es un ángulo agudo.

En un triángulo rectángulo, ¿se puede calcular el seno(120º)?

Actividad 1: Circunferencia Unitaria

Para extender la trigonometría a todos los ángulo reales, utilizaremos la circunferencia unitario. La circunferencia unitaria (o círculo trigonométrico) es una circunferencia que tiene un radio exactamente igual a 1 y su centro está ubicado en el origen de un plano cartesiano, es decir, en las coordenadas (0,0).

Actividad 1: Concepto de radián

Pregunta 1

Mueve el deslizador L hasta exactamente 1: esto es un radián. Sin mover más el deslizador, mira tu pantalla y haz una estimación: ¿Cuántos de estos trozos enteros crees que necesitas para dar exactamente media vuelta al círculo? ¿2, 3, 4? Justifica lo que ves.

Pregunta 2

Ahora mueve el deslizador L hasta que el arco rojo llegue exactamente a la mitad de la circunferencia (media vuelta). Mira el número en la pantalla. Verás que necesitas 3 radios enteros y un poco más. ¿Cuál es el valor exacto de ese deslizador al llegar a la mitad? ¿A qué famoso número se parece? ¿Por qué crees que aparece este número aquí?

Pregunta 3

Sigue avanzando el deslizador L hasta dar la vuelta completa. ¿Qué valor alcanzas al cerrar el círculo? Relaciona este número final con la fórmula que aprendiste en Educación Básica para calcular el perímetro de cualquier circunferencia (). Explica esta relación con tus palabras.

Pregunta 3

Sigue avanzando el deslizador L hasta dar la vuelta completa. ¿Qué valor alcanzas al cerrar el círculo? Relaciona este número final con la fórmula que aprendiste en Educación Básica para calcular el perímetro de cualquier circunferencia (). Explica esta relación con tus palabras.

Pregunta 4

En términos de medida angular, ¿a cuántos grados sexagesimales equivale media vuelta?

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Pregunta 5

En términos de medida angular, ¿a cuántos radianes equivale media vuelta?

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Pregunta 6

En términos de medida angular, ¿a cuántos grados sexagesimales equivale una vuelta completa?

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Pregunta 7

En términos de medida angular, ¿a cuántos radianes equivale una vuelta completa?

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Pregunta 8

¿Cuál es la relación matemática entre los radianes y los grados sexagesimales? Explica con tus palabras (los resultados de las pregunta 4 a las 7 te pueden ayudar).

Definción de radián:

Definción de radián:

Relación de conversión radián - grado sexagesimal:

Relación de conversión radián - grado sexagesimal:

Relación Grado sexagesimal - Radián:

Relación Grado sexagesimal - Radián:

Actividad 2: Funciones trigonométricas

Pregunta 1.

Mueve el ángulo en tu simulador a exactamente 90° ( radianes). En ese momento, el punto P está en la parte más alta del círculo. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P?

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Pregunta 2

Sabiendo que x=cos() e y=sen(), deduce sin usar calculadora: ¿Cuánto vale cos(90°) y cuánto vale sen(90°)?

Pregunta 3

Completa la siguiente tabla moviendo tu punto por los ejes principales del plano cartesiano:

Ángulo ()Coordenada x (coseno)Coordenada y (seno)
0° (0)
180° ()
270° ()
360° ()

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Si tomas tu calculadora e intentas calcular el sen-1(2) o arcsen(2) (es decir, buscar un ángulo cuyo seno sea 2), la calculadora te arrojará "MATH ERROR".

Pregunta 4

Observando el tamaño de tu Círculo Unitario, ¿por qué es lógicamente imposible que el Seno o el Coseno de un ángulo den como resultado el número 2 o el número -1.5? Justifica tu respuesta.

Pregunta 5

¿En qué cuadrante(s) el Coseno (la coordenada x) y el Seno (la coordenada y) tienen exactamente el mismo signo? (Ambos positivos o ambos negativos).

Pregunta 6

Imagina que debes explicarle a alguien que no sabe nada de trigonometría qué fue lo que hicimos hoy. Escribe a continuación las 3 ideas más importantes que aprendiste sobre la Circunferencia Unitaria, los Radianes y las coordenadas (x, y). Sé claro y directo.

Pregunta 7

Dibuja mentalmente (o en papel) el triángulo rectángulo que se forma dentro del círculo unitario:

  • La base del triángulo mide x (Coseno).
  • La altura del triángulo mide y (Seno).
  • La hipotenusa es el radio del círculo, que mide 1.
Si aplicas el Teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2) a este triángulo específico, ¿qué relación entre el seno y el coseno encuentras?

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