Die Ableitung der Funktion ist die Funktion
Gibt es eine Funktion deren Ableitung wieder die selbe Funktion ist?
Wenn unsere gesuchte Funktion durch P(0|1) geht, welche Steigung muss sie in diesem Punkt haben?
Die Funktion muss wegen der Steigung in P(1|0) rechts von diesem Punkt erstmal nach oben gehen. Sie verläuft also kurzzeitig nach rechts oben. Allerdings könnte es durchaus sein, dass die Funktion irgendwann rechts der y-Achse wieder nach unten geht. Welche der oben gezeigten Funktionsverläufe bleiben dadurch nur noch übrig?
Überlegen wir uns als nächstes, ob die Funktion rechts von der y-Achse eine Nullstelle haben könnte: Angenommen die Funktion hätte z.B. bei N(0|3) eine Nullstelle. Um runter auf die Höhe der x-Achse zu kommen, müsste die Funktion irgendwann zwischen x=0 und x=3 fallen. Wenn die Funktion fällt, hat sie eine ____________ Steigung.
Was bedeutet eine negative Steigung für den y-Wert unserer Funktion? (TIPP: Beachten Sie die Bedingung vom Anfang.)
Das heißt unsere Funktion müsste zwischen x=0 und x=3 negative y-Werte (also Punkte unterhalb der x-Achse) haben. Um unter die x-Achse zu kommen, muss die Funktion sie erstmal durchqueren, das heißt eine neue Nullstelle M haben - und das schon vor x=3 ! Warum ist das nicht möglich?
Die Funktion hat somit ...
Da die Funktion rechts der y-Achse nur positive y-Werte hat, kann sie auch nur positive Steigungen haben. Welche der obigen Funktionsverläufe sind daher noch möglich?
Warum wurde im obigen Schaubild ab dem x-Wert 1 eine lineare Strecke mit der Steigung 2 verwendet?
Für die Werte links der y-Achse kann mit ähnlichen Argumenten wie zuvor die zweite Hälfte des Schaubilds erstellt werden. Aktivieren Sie die Ansicht der linken Hälfte im obigen Schaubild. Welchen Typ von Funktion zeigt das Schaubild?