3-4 Desarrollo de 1/1+x

No mover los deslizadores k_a, k_b, k_c de los valores iniciales 1,1,0.

La función 1/x toma valor infinito en 0 y nos es imposible desarrollarla  en este punto.

Mercator trabaja con la serie 1/1+x, como equivalente a 1/x, sustituyendo x por x+1 es decir desplazando la función de manera que para x=0 tome el valor 1.

El cambio de variable permite dividir el numerador 1 entre el denominador 1+x , operando como lo haríamos dividiendo dos números. Obteniendo así la serie 1/1+x= 1-x+x²-x³+x⁴+…..

En la hoja de trabajo podemos observar que para x=1 la serie toma alternativamente valor 1 o’ 0, según sea el ultimo termino del desarrollo de exponente par o impar. El valor de la función en ese punto es  1/1+1, ½. Vemos pues que la serie no es convergente para x=1 y su entorno de convergencia queda limitado por -1< x < 1. Comprobamos lo que hemos dicho de la simetría del entorno de convergencia respecto de 0. La serie  no pueden superar x=1 y para  x=-1  la función se hace infinita y no admite desarrollo.

Hacer clic en “serie integrada”

Obtenido el desarrollo de 1/1+x, Mercator lo integra termino a termino y obtiene el desarrollo de Log (1+x),

Log ( x+1) = x- x²/2+ x³/3-….

En la tabla de derivadas del capitulo 4.3 hemos definido que la derivada de log_a x =  k_a x^-1, sustituyendo la variable x por x+1 tenemos log_a (x+1) =  k_a (x+1)^-1. Para las dos series obtenidas por Mercator vemos que k_a=1.

Para obtener el valor de a, es decir la base de la función logarítmica obtenida, hacemos clic en “mostrar funciónlogarítmica” y ajustamos su valor con el deslizador a. El valor de a es aproximadamente 2,72.

Moviendo k_a , desarrollamos la función y=k_a/1+x y obtenemos una serie integrada de valor

Log ( x+1) =k_a [ x- x²/2+ x³/3-….]

Para obtener el valor de la base de la función logarítmica debemos ajustar el deslizador a. Por ejemplo para K_a =1,4 , la función logarítmica integral será:

Log₂ (1+x) = 1,4 [ x- x²/2+ x³/3-….]

Movimiento de k_b Si movemos k_b el efecto obtenido es una traslación de la hipérbola según el eje x. La ecuación de la hipérbola pasa a ser y = k_a/k_b+x. Podemos observar dos consecuencias:

1- La ampliación del entorno de convergencia a -k_b b.

2- Modificando Kc ajustamos el desarrollo de la serie integrada a la función logarítmica que se desplaza y mantiene la base obtenida para kb=1