Varijacije s ponavljanjem
- Autor:
- Vesna Josipović
- Tema:
- Kombinatorika
Primjer 1.
U učionici se nalaze 4 stropne svjetiljke.
Na koliko načina učionica može biti osvijetljena?
Rj.
Da bi učionica bila osvijetljena treba barem jedna svjetiljka gorjeti.
Za svaku svjetiljku biramo da li će ona gorjeti (G) ili biti ugašena (U).
Dakle, sve moguće načine osvjetljenja za 4 svjetiljke opisuje uređena četvorka (r=4),
a izbor je element skupa {G, U}, n=2.
__ __ __ __
Ispišimo ih:
U U U G U U G G U G G G G G G G U U U U
U U G U U G U G G U G G
U G U U U G G U G G U G
G U U U G U U G G G G U
G U G U
G G U U
Međutim, kada su sve svjetiljke ugašene (U, U, U, U) ne smatramo da je učionica osvjetljena,
postoji ukupno 15 načina osvjetljenja učionice.
Primjer 2.
Na matematičkom natjecanju Klokan bez granica rješava se test u kojemu ima 24 zadataka.
Svaki zadatak ima 5 ponuđenih odgovora. Ako učenik može i ne odgovoriti na neki zadatak,
koliko postoji načina rješavanja ovog testa?
Rj. Za svaki zadatak učenik može birati jedan od 5 ponuđenih odgovora ili nijedan.
Dakle, za svaki zadatak imamo 6 izbora, n=6.
Radi se o uređenim 24-torkama, r=24.
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
Postoji različitih načina za popunjavanje ovog testa.
Neka je S skup od n elemenata. Ukupan broj svih uređenih k-torki
s elementima iz skupa S, pri čemu se elementi mogu ponavljati, jednak je .
Takve k-torke nazivaju se varijacije s ponavljanjem k-tog razreda u n- članom skupu.