Тригонометрический круг, формулы приведения
Определение косинуса, синуса по тригонометрическому кругу, радианная мера угла
Единичный круг
Радиус тригонометрического круга равен 1, поэтому по теореме Пифагора:
- основное тригонометрическое тождество.
Радианы
Вспомните формулу длины окружности: . Для окружности единичного радиуса . Поэтому угол можно измерять в единицах длины окружности - в радианах. Весь круг - радиан. Угол в 1 радиан - такой угол, длина дуги которого равна радиусу (для единичного круга эта длина равна 1, поэтому и 1 радиан).
Направление
Угол на тригонометрическом круге отмеряется от положительного направления горизонтальной оси против часовой стрелки.
№0
Определите радианные меры всех оставшихся отмеченных крестиком углов (точек).
№1а)
Углы на тригонометрическом круге, периодичность
Каждая точка на тригонометрическом круге обозначает не один угол, а бесконечно много, повторяющихся каждый новый круг, т.е. с периодом . Окружность будто наматывается на круг слоями бесконечное число раз в обе стороны (в положительном и отрицательном направлении).
Тангенс и котангенс
Определение тангенса любого угла:
Определение котангенса любого угла:
Период тангенса и котангенса в 2 раза меньше, чем у синуса и косинуса, т.е. .
Если поделить обе части основного тригонометрического тождества () на и воспользоваться определением тангенса, то получим ещё одно тождество:
Если поделить обе части основного тригонометрического тождества () на и воспользоваться определением котангенса, то получим ещё одно тождество:
Табличные значения
Вспомним табличные значения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов некоторых углов.
№1б)
Формулы приведения
Алгоритм вычисления с помощью формул приведения
Имеем выражение вида или , где . Например, . Цель - привести к синусу или косинусу с аргументом без слагаемых с и без минусов.
- Предполагаем, что угол находится в первой четверти, и смотрим, где находится угол , который в аргументе. Если мы вычисляем , то смотрим, какой в этой четверти будет знак у синуса; если - какой знак у косинуса. После знака равно сразу пишем, если минус.
- Если , т.е. слагаемое , и т.п., то синус остаётся синусом, а косинус - косинусом; а если , т.е. слагаемое , и т.п., то синус меняется на косинус, а косинус - на синус.
№2а) Использовать формулу приведения
№2б) Вычислить, используя формулы приведения (а лучше - находя точку по кругу и автоматически получая формулу, а не запоминая её)
Определение тангенса/котангенса по кругу
Формулы приведения
Алгоритм вычисления с помощью формул приведения
Имеем выражение вида или , где . Например, . Цель - привести к тангенсу или котангенсу с аргументом без слагаемых с и без минусов.
- Предполагаем, что угол находится в первой четверти, и смотрим, где находится угол , который в аргументе. Если мы вычисляем , то смотрим, какой в этой четверти будет знак у тангенса; если - какой знак у котангенса. После знака равно сразу пишем, если минус.
- Если , т.е. слагаемое , и т.п., то тангенс останется тангенсом, а котангенс - котангенсом; а если , т.е. слагаемое , и т.п., то тангенс меняется на котангенс, а котангенс - на тангенс.