螺旋迭代列表旋转与位似
20260719 修改自：hawe — 2023年12月12日 - 下午8:59 的 Spirale IterationList Rotate & Dilate – GeoGebra
名称 定义 数值
pW a a = 5.2
pW b b = 4.7
pW n n = 8
A 交点(x轴, y轴) A = (0, 0)
b t1 多边形((0, b), (a, 0), (0, 0)) t1 = 12.22
f 线段((0, b), (a, 0), t1) f = 7.009
g 线段((a, 0), (0, 0), t1) g = 5.2
h 线段((0, 0), (0, b), t1) h = 4.7
b t2 位似(多边形(旋转((0, b), 90°), 旋转((a, 0), 90°), 旋转((0, 0), 90°)), b / a) t2 = 9.983
b t3 位似(旋转(t2, 90°), b / a) t3 = 8.155
b t4 位似(旋转(t3, 90°), b / a) t4 = 6.663
b t5 位似(旋转(t4, 90°), b / a) t5 = 5.443
b t6 位似(旋转(t5, 90°), b / a) t6 = 4.446
h a0 {(0, b), (a, 0), (0, 0)} a0 = {(0, 4.7), (5.2, 0), (0, 0)}
ar=应用矩阵({{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}}, {(0, b), (a, 0), (0, 0)})
ar = {(-4.7, 0), (0, 5.2), (0, 0)}
a1=应用矩阵({{b / a, 0}, {0, b / a}}, ar)
a1 = {(-4.248, 0), (0, 4.7), (0, 0)}
m1=迭代列表({位似(旋转(元素(XX, 1), 90°), b / a)}, XX, {{多边形((0, b), (a, 0), (0, 0))}}, 9)
m1 = {{12.22}, {9.983}, {8.155}, {6.663}, {5.443}, {4.446}, {3.632}, {2.968}, {2.424}, {1.98}}
text1="https://www.mathelounge.de/1050374/unendliche-spirale-im-kartesischen-koordinatensystem?show=1050551#c1050551 F r gegebene L ngen a, b > 0 seien im kartesischen Koordinatensystem Punkte A0, A1, A2, . . . wie folgt aufgetragen: Sei A0 = (a, 0) und A1 = (0, b) und sei An+2 der Schnittpunkt der zu AnAn+1 senkrechten Geraden durch An+1 mit einer der Koordinatenachsen. Aufgabe: Gib eine explizite Formel f r |AnAn+1| in Abh ngigkeit von a und b an."
l1=迭代列表(位似(旋转(XX, 90°), b / a), XX, {多边形((0, b), (a, 0), (0, 0))}, n)
l1 = {12.22, 9.983, 8.155, 6.663, 5.443, 4.446, 3.632, 2.968, 2.424}
c=圆弧((0, 0), (a, 0), (0, b))
c = 8.168
d=圆弧((0, 0), (0, b), 旋转((0, b), 90°))
l2=迭代列表(XX b / a, XX, {(a, b)}, 6)
l2 = {(5.2, 4.7), (4.7, 4.248), (4.248, 3.84), (3.84, 3.47), (3.47, 3.137), (3.137, 2.835), (2.835, 2.563)}
Row Input Output
#1 l2:=迭代列表(XX b / a, XX, {(a, b)}, 6) l2:={(26 / 5, 47 / 10), (47 / 10, 2209 / 520), (2209 / 520, 103823 / 27040), (103823 / 27040, 4879681 / 1406080), (4879681 / 1406080, 65799 / 20977), (65799 / 20977, 3092553 / 1090804), (3092553 / 1090804, 2258406 / 881327)}
#2 a_0:={(0, b), (a, 0), (0, 0)} a_0:={(0, 47 / 10), (26 / 5, 0), (0, 0)}
#3 a_r:=应用矩阵({{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}}, {(0, b), (a, 0), (0, 0)}) a_r:=应用矩阵({{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}}, {(0, b), (a, 0), (0, 0)})
#4 a_1:=应用矩阵({{b / a, 0}, {0, b / a}}, a_r) a_1:=应用矩阵({{b / a, 0}, {0, b / a}}, a_r)
#5 {{b / a, 0}, {0, b / a}} {{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}} {{b / a, 0}, {0, b / a}} {{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}}
#6 $5 {{0, -47 / 52}, {47 / 52, 0}}
#7
Created with GeoGebra
#迭代列表(应用矩阵(Md, 应用矩阵(Mr, Poly1)),Poly1, {{多边形((0, b), (a, 0), (0, 0))}},Md,{{b / a, 0}, {0, b / a}},Mr, {{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}},n)
#迭代列表(应用矩阵(Md, 应用矩阵(Mr, Poly1)),Poly1, {t1},Md,{{b / a, 0}, {0, b / a}},Mr, {{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}},n)
应用矩阵({{b / a, 0}, {0, b / a}}, ar) a1 = {(-4.248, 0), (0, 4.7), (0, 0)}
应用矩阵({{b / a, 0}, {0, b / a}},应用矩阵({{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}}, {(0, b), (a, 0), (0, 0)})
迭代列表({位似(旋转(元素(XX, 1), 90°), b / a)}, XX, {{多边形((0, b), (a, 0), (0, 0))}}, 9)
迭代列表(位似(旋转(XX, 90°), b / a), XX, {多边形((0, b), (a, 0), (0, 0))}, n)
反思改进：
#缩放矩阵Md，旋转矩阵Mr，复合矩阵MM，
Md={{b / a, 0}, {0, b / a}}
Mr={{cos(90°), -sin(90°)}, {sin(90°), cos(90°)}}
MM=Md Mr
Plist={(0,b),(a,0),(0,0)}
t1=多边形(Plist)
# 若写成这种连乘的形式，多边形t1只是以面积的值代入计算，结果为矩阵，不是预想结果。这种方式只能进行数值运算。
m2=Md Mr t1
#顶点或者关键点应用矩阵，再重新生成
m5=迭代列表(应用矩阵(Md,应用矩阵(Mr,Poly1)),Poly1,{Plist},n)
l8=序列(多边形(m5(k)),k,1,n)
#迭代，应用矩阵(M,t)，t对象可以为多种类型的几何对象，不仅仅是数值。此处先旋转再缩放、先旋转再缩放效果一样
m6=迭代列表(应用矩阵(Md,应用矩阵(Mr,Poly1)),Poly1,{{t1}},n)
#m61=迭代列表(应用矩阵(Mr,应用矩阵(Md,Poly1)),Poly1,{{t1}},n)
#序列，复合矩阵的k次幂
l7=序列(应用矩阵(MM^(k),t1),k,0,n)
#l9=序列(应用矩阵((Md Mr)^(k),t1),k,0,n)
text1文本有单击时js脚本:
function openInNewTab(url) {
var win = window.open(url, '_blank');
try { win.focus(); } catch (e) {}
}
openInNewTab("https://www.mathelounge.de/1050374/unendliche-spirale-im-kartesischen-koordinatensystem?show=1050551#c1050551")