Kort om gränsvärden
- Författare/skapare:
- Mathias Armbäck
- Område(n):
- Gränsvärden
Gränsvärden kan man säga handlar om att man man tänker sig vad som händer om ett värde förändrar sig. Som nämndes tidigare används grekiskans limes, förkortat lim, för gränsvärden.
Säg att vi har:
Om vi då tänker oss att x är ett värde som från ett mycket litet tal närmar sig 4, då kommer det i princip stå 4-4 och då blir detta gränsvärde 0.
Man kan även tänka sig att x är ett mycket stort tal som närmar sig 4, men här blir det ingen skillnad. Men det kan bli.
Om vi tar snarlika:
Då set vi att det kommer kunna stå 5-4 som då ger att gränsvärdet är 1.
Se vad som händer grafiskt om A är en punkt som vandrar och gränsvärdet är 4 eller 5. Vilka svar det blir
Det svåra blir när man tittar på gränsvärden som är oändliga. Betecknas med lemniskata (oändlighetstecknet) ∞. Eller om man får divisioner med 0.
Säg att vi har gränsvärdet:
Då skulle man kunna se det som att det står men det betyder inget det är som att det står eftersom oändligt är oändligt och inte ett specifikt tal. Man skulle kunna leka med tanken att gränsvärdet då blir 1.
Men här får man fundera och dela upp i två delar. Man tittar på täljaren för sig och nämnaren för sig. Säg att vi sätter in 1, vi får . Vi sätter in 2 och ser vad som händer, vi får . Nämnaren har växt snabbare. Vi sätter in ett större tal 10, vi får . Nu är nämnaren mycket större än täljaren. Om vi tänker oss att vi sätter in större och större tal kommer nämnaren att bli extremt mycket större än täljaren. Det skulle i princip vara som att man har (satte bara in siffror...) och om man har en väldigt stor nämnare blir ju kvoten mindre och mindre, den närmar sig 0. Om vårt x-värde närmar sig oändligheten kommer kvoten att närma sig 0. Då kommer gränsvärdet att vara 0.
Studera gränsvärdet och jämför med ovan. Vad skulle gränsvärdet vara om x gick mot 0 i stället?
Ett avancerat gränsvärde
Säg nu att vi har:
Då ser vi direkt att om x är 0 får vi vilket inte går att räkna.
Men vad händer om vi närmar oss 0?
Om vi först kommer från ett mycket litet tal och närmar oss 0 från vänster. Vad kommer då hända?
Säg att vi har -10, då får vi . Vi närmar oss och väljer -2 och få får . Vi närmar oss och väljer -1 och då får . Det ser ut som att vi får negativa tal som blir mindre och mindre. Men eftersom vi senare får decimaltal blir saker annorlunda. Vi sätter in -0,1 och får . Samma som när vi satte in -10! Vi sätter in ett ännu mindre tal som -0,001 och vi får . Ju närmare 0 talet är och negativt desto mindre verkar det bli. Om vi närmar oss 0 från vänster blir gränsvärdet då -∞.
Om vi sen kommer från ett mycket stort tal och närmar oss 0 från höger. Då kommer samma sak hända, fast positiva tal. Gränsvärdet när vi närmar oss 0 från höger blir då ∞.
Dessa två svar kan vi skriva då som:
och .
Man kan alltså ha olika gränsvärden på samma tal.
Om vi tittar på exemplet ovan med appletten så blir det i bägge fall .
Se i appletten nedan för det som vi nyss behandlat