Lokale Extrema
- Autor:
- Andreas Lindner
- Thema:
- Analysis, Differentialrechnung
Die Hesse-Matrix ist gegeben durch
Satz
Für die zweimal stetig differenzierbare Funktion mit grad f(x0,y0) = 0 und die symmetrische Matrix gilt:
i) det Hess > 0 ∧ a1,1 > 0 ⇒ Hess ist positiv definit, d. h. f besitzt in (x0,y0) ein lokales Minimum.
ii) det Hess > 0 ∧ a1,1 < 0 ⇒ Hess ist negativ definit, d. h. f besitzt in (x0,y0) ein lokales Maximum.
iii) det Hess < 0 ⇒ Hess ist indefinit, d. h. f besitzt in (x0,y0) einen Sattelpunkt.
Aufgabe
Verschiebe den Punkt P und versuche, Maxima, Minima und Sattelpunkte zu finden.
Untersuche weitere Funktionen wie
f(x,y) = x*y , f(x,y) = 0.5(x³ + x² - x) - 0.5y² , f(x,y) = sin(x)*sin(y) etc.
Hinweis:
Bei Bedarf kannst du die Einstellungen für das Gitternetz der xy-Ebene auf Abstand π oder π /2 ändern.
Zusatzfrage:
Wieso kann mit diesem Satz kein Sattelpunkt für die Funktion f mit f(x,y) = x³ gefunden werden?