Aplicación racional circunferencia -> semiplano

Autor:
cafernan
a) Encontrar una aplicación racional \(h(z)\) que transforme la región  \(|z-1|\le 2\) en la región \(\mathrm{Im}(z)\ge 0\). b) ¿Existe sólo una aplicación racional que cumple la condición a) o podría haber más? c) ¿Es \(h\) holomorfa en todo el plano compejo?
a) Hay dos maneras de hacerlo, y dentro de cada una muchas opciones: A) Conseguir una sucesión de funciones elementales (giros, traslaciones, homotecias, inversiones) que consigan lo que queremos. Al menos habrá que invertir una vez, para poder cambiar de círulo a semiplano, con el centro de inversión en la frontera del círculo. Lo más sencillo es usar 1/z, por lo que podemos llevar la circunferencia a estar apoyada en el 0 en su frontera. Por ejemplo, 1) \(z\mapsto z+1\), llegamos al círculo de centro 2 y radio 2.  2) \(z\mapsto 1/z\), llegamos al semiplano \(\mathrm{Re}(z)\ge 1/4\). 3) \(z\mapsto z-1/4\),  llegamos al semiplano \(\mathrm{Re}(z)\ge 0\). 3) \(z\mapsto iz\),  llegamos al semiplano \(\mathrm{Im}(z)>0\). Finalmente sólo queda componer estas aplicaciones: \[h(z)=i(1/(z+1)-1/4)=\frac{-iz+3i}{4z+4}\,.\] B) Elegir tres puntos de la frontera del círculo inicial y tres puntos de la frontera del semiplano final, y construir directamente una aplicación racional que lleve los tres primeros puntos en los tres últimos. Esto sólo nos garantiza la transformación de las fronteras, por lo que el círulo podría ir con esa aplicación al semiplano superior o al inferior. Si hemos llegado a la opción incorrecta basta con multiplicar por -1 para tener una correcta. b) Sin necesidad de tener en cuenta las libertades del apartado anterior, tenemos que si \(h\) es una aplicación con esas propiedades cualquier otra \(h(z)+a\), para \(a\) un número real, también lo es. c) Depende de la aplicación elegida, pero como se indicó en el apartado a) hace falta al menos una inversión, por lo que cualquiera que se construya tendrá un punto donde no sea holomorfa (donde no esté propiamente definida, de hecho). Dejará de ser holomorfa donde se anule el denominador de la aplicación conseguida. En el caso de la expuesta aquí, en \(z=-1\).