Wurzelgleichungen
- Autor:
- Anna Volokitina
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Wurzel aus einem oder mehreren Termen vorkommt.
Wir schauen uns ein Beispiel für eine Wurzelgleichung an und versuchen diese zu lösen.
Zunächst quadrieren wir beide Seiten der Gleichung und erhalten
Dann multiplizieren wir die linke Seite aus und erhalten
Nun rechnen wir und erhalten
Auf der linken Seite der Gleichung heben wir x heraus und erhalten
Nun können wir die beiden Lösungen hinschreiben
Nun machen wir die Probe.
Zunächst setzen wir ein und erhalten
Dies stimmt natürlich nicht. Deswegen erfüllt die Wurzelgleichung nicht.
Nun setzen wir ein und erhalten
Das heißt, ist die Lösung von der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge ist .
Daraus sehen wir, dass die quadrierte Gleichung eine andere Lösungsmenge haben kann als die ursprüngliche. Vereinfacht gesagt, kann man sich durch das Quadrieren Lösungskandidaten einhandeln, die keine Lösung sind.
Wir schauen uns ein weiteres Beispiel für eine Wurzelgleichung.
Der Radikant einer Wurzel darf nicht negativ werden. Sonst ist die Wurzel der zugehörigen Gleichung nicht definiert.
Aus diesem Grund muss man bei Wurzelgleichungen die Definitionsmenge angeben.
So musste es bei unserem Beispiel gelten.
Wir rechnen aus und erhalten zum Schluss .
In diesem Fall besteht die Definitionsmenge aus allen reellen Zahlen, die kleiner gleich sind.
Die Definitionsmenge schreiben wir als.
Quellen:
http://www.mathe-online.at/skripten/gleich/gleich_wurzelgleichungen.pdf
http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/zahl/gleich/wugl/def