Copia de Estudio de signo de función derivada.
- Autor:
- Patricia Coiro, Robert de Souza
Con el siguiente trabajo se tratará de
i) deducir la relación existente entre el signo de la función derivada f ', y crecimiento - decrecimiento de la función f.
ii) observar condición necesaria (y suficiente posteriormente) para que una función presente extremos relativos.
Actividad:
Se ha representado a una función f , polinómica, de tercer grado, por su gráfico. Para cada punto A de f se representa la tangente al gráfico de la función en ese punto.
Observa y responde:
- ¿Para qué valores del dominio la función es creciente?, ¿decreciente?.
¿Presenta f extremos relativos? ¿En qué puntos?
- Has estudiado el crecimiento-decrecimiento de la función f. Completa los espacios en el siguiente esquema y resume los resultados obtenidos.
Intervalo Crecimiento de f
(__ , __ ) f es creciente
(-2, 2/3) f es _________
(2/3, __) f es _________
- ¿Qué se representa al activar la casilla "Ver Tangente"?
Desliza el punto A sobre la curva modificando su abscisa a (arrastra con el ratón) y observa cómo varía la recta tangente.
Habrás visto que la recta tangente toma diferentes colores.
- ¿Qué puedes afirmar acerca de la pendiente m de la recta tangente si ésta es de color azul?
- Si la pendiente de la recta tangente en A es m=-2, ¿de qué color es la recta tangente en A?
- Escribe en la columna correspondiente las propiedades locales (función creciente, función decreciente, derivada positiva, recta tangente con coeficiente angular negativo, recta tangente horizontal, extremo relativo, raíz de la derivada primera de f) que en este ejemplo se encuentran asociadas a cada color de la recta tangente en A:
Rojo Verde Azul
Función decreciente Recta tangente horizontal Función creciente
Recta tangente con Extremo relativo Derivada positiva.
coeficiente angular
negativo.
.................................... Raíz de f ´ ...................................
Contesta : Verdadero o Falso.
Si la pendiente m de la recta tangente al gráfico de f en x=a es positiva podemos afirmar:
-que la función f es creciente.
-que la función f es creciente en x=a
-que la función f es creciente en algún entorno de centro x=a
-que f es derivable en x=a
-que la derivada de f en x=a es positiva
-que la función presenta extremo relativo en x=a
Teniendo presente la relación entre la derivada en un punto y el coeficiente angular de la recta tangente en ese punto, completa la siguiente tabla y enuncia una regla general que vincule el signo de la derivada en x=a con el crecimiento - decrecimiento de f en x=a.
Intervalo (-__, -2) (-2, __) (2/3 ,+__)
Signo de f’
Crecimiento de f
A partir de este momento se podrá activar el rastro de los puntos de coordenadas (a,0) que a través de la opción "colores dinámicos" representará el signo de f'. Con la representación del signo de f' se volverá a comparar con el crecimiento de f.
Activando el rastro de los puntos (a,m) obtenemos el gráfico de la función derivada f'. Se trata de una nueva oportunidad para relacionar f y f'.
Resumen de lo trabajado: el estudio de signo de la función derivada f´, permite realizar estudio de crecimiento-decrecimiento de la función f. Si en un intervalo de reales la derivada es positiva, la función en ese intervalo es creciente; si la derivada es negativa, la función es decreciente.
Ejercicio.
Algo más para investigar:
i) si en el estudio de signo de la función derivada, hay cambio, ¿hay cambio en el crecimiento- decrecimiento de la función?
ii) si la función derivada es cero, para algún valor de x, ¿en ese valor, la función f presenta un extremo relativo?
Para responder a estas preguntas puedes trabajar con la función f:R→R/f(x)=x^3, (estudiar crecimiento-decrecimiento, e indicar si presenta extremos relativos).
Tarea Domiciliaria:
En el siglo XVII el matemático "aficionado" Pierre de Fermat desarrolló un método para determinar los máximos y mínimos de una función a partir de su derivada. A partir de este ejemplo intenta relacionar los máximos y mínimos de f y el valor correspondiente de la derivada.
¿En qué pudo consistir el método de Fermat?
Desarrollo de la actividad:
Se ha representado a una función f por su gráfico. Para cada punto A de f se representa la tangente al gráfico de la función en ese punto.
- ¿Para qué valores del dominio la función es creciente?, ¿decreciente?.
¿Presenta f extremos relativos? ¿En qué puntos?
- Has estudiado el crecimiento-decrecimiento de la función f. Completa los espacios en el siguiente esquema y resume los resultados obtenidos.
Intervalo Crecimiento de f
(-∞, __ ) f es creciente
(-2, 2/3) f es _________
(2/3, +∞) f es _________
- ¿Qué se representa al activar la casilla "Ver Tangente"?
Desliza el punto A sobre la curva modificando su abscisa a (arrastra con el ratón) y observa cómo varía la recta tangente.
Habrás visto que la recta tangente toma diferentes colores.
- ¿Qué puedes afirmar acerca de la pendiente m de la recta tangente si ésta es de color azul?
- Si la pendiente de la recta tangente en A es m=-2, ¿de qué color es la recta tangente en A?
- Escribe en la columna correspondiente las propiedades locales (función creciente, función decreciente, derivada positiva, recta tangente con coeficiente angular negativo, recta tangente horizontal, extremo relativo, raíz de la derivada primera de f) que en este ejemplo se encuentran asociadas a cada color de la recta tangente en A:
Rojo Verde Azul
Función decreciente Recta tangente horizontal Función creciente
Recta tangente con
coeficiente angular negativo Extremo relativo Derivada positiva
Raíz de f’
(Verdadero o Falso)
Si la pendiente m de la recta tangente al gráfico de f en x=a es positiva podemos afirmar:
- que la función f es creciente.
- que la función f es creciente en x=a
- que la función f es creciente en algún entorno de centro x=a
- que f es derivable en x=a
- que la derivada de f en x=a es positiva
- que la función presenta extremo relativo en x=a
Teniendo presente la relación entre la derivada en un punto y el coeficiente angular de la recta tangente en ese punto, completa la siguiente tabla y enuncia una regla general que vincule el signo de la derivada en x=a con el crecimiento - decrecimiento de f en x=a.
Intervalo (-.... , -2) (-2, .... )
(.... , +.... )
Signo de f’
Crecimiento de f
A partir de este momento se podrá activar el rastro de los puntos de coordenadas (a,0) que a través de la opción "colores dinámicos" representará el signo de f'. Con la representación del signo de f' se volverá a comparar con el crecimiento de f.