INTEGRALI INDEFINITI: METODO d'INTEGRAZIONE per PARTI
TEOREMA - DERIVATA del PRODOTTO di FUNZIONI
Date due funzioni derivabili e , il loro prodotto è derivabile ed è uguale alla somma tra la derivata della prima per la seconda più la prima per la derivata della seconda, ovvero:
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TEOREMA - INTEGRAZIONE per PARTI
Date due funzioni derivabili e , vale la seguente relazione:
detta relazione d'integrazione per parti.DIMOSTRAZIONE
Per ipotesi le due funzioni sono derivabili, quindi il loro prodotto è derivabile ed è uguale a:
Invertendo l'uguaglianza e portando uno dei due termini a secondo membro si ottiene:
Integrando entrambi i membri si ottiene:
Considerando che la primitiva della derivata di una funzione è la funzione stessa si ottiene:
ovvero la relazione d'integrazione per parti.__________________________________________________________________________________________________________
APPLICAZIONE del METODO d'INTEGRAZIONE per PARTI
Dopo aver valutato l'applicabilità dei precedenti metodi d'integrazione, il metodo d'integrazione per parti può essere utilizzato per integrare il prodotto di due funzioni delle quali una può essere vista come derivata di una funzione.
In pratica, in presenza di funzioni difficili da integrare, il metodo ne consente la risoluzione attraverso l'operazione di derivazione della funzione.