Die natürliche Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl e
Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt bestimmst du die Eulersche Zahl e grafisch und lernst die Exponentialfunktion kennen.
- Wähle dir eine Basis a und stelle den Wert mit dem roten Schieberegler ein.
- Ziehe den Ziehpunkt auf dem Graphen entlang und beobachte dabei die Tangente.
- Die Steigung der Tangente an einer Stelle x ist bekanntlich der Wert der Ableitung an dieser Stelle. Den Wert der Steigung (bzw. der Ableitung) bekommst du angezeigt, wenn du das Kästchen "Steigungsdreieck anzeigen" aktivierst.
- Wir bilden nun grafisch die Ableitungsfunktion: Eigentlich müsste man eine Wertetabelle anlegen: Als x-Werte jeweils die x-Werte des Ziehpunktes und als zugehörige y-Werte die Tangentensteigungen an diesen Stellen. Dann könnte man die Funktion zeichnen. Wir benutzen diese Idee, lassen uns aber die Punkte für den Graphen der Ableitungsfunktion direkt vom Computer einzeichnen (Kästchen "Steigung als y-Wert abtragen" aktivieren).
- Der "Spurpunkt" ist nun ein Punkt der Ableitungsfunktion. Er zeigt mit seinem y-Wert (grüne Linie) genau die Ableitung der roten Funktion an der Stelle x an, an der sich der Ziehpunkt gerade befindet. Wenn man nun den Ziehpunkt weiter zieht, so passt sich auch der Spurpunkt entsprechend an. D. h. er "fährt" auf dem Graphen der Ableitungsfunktion entlang.
- Es sieht wohl ganz danach aus, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist. Die Frage ist: Was für eine genau? Wir suchen nun die Funktionsgleichung der Ableitung:
- Begründe, warum es keine Funktion der Form sein kann.
- Begründe, warum die Funktion nicht vertikal verschoben sein kann.
- Überlege, wie die Ableitungsfunktion nur noch aussehen kann.
- Erstelle eine Ableitungsregel für alle Exponentialfunktionen.
- Aktiviere das Kästchen "zweite Funktion anzeigen". Versuche nun mit dem pinken Schieberegler c so einzustellen, dass sich der pinke Funktionsgraph mit dem Graphen der Ableitung deckt. Die Funktionsgleichung der pinken Funktion ist also die gesuchte Gleichung der Ableitung.
- Probier mit deinem Taschenrechner aus, in welche Funktion du den Wert a einsetzen musst, damit du den Wert c erhältst.