Teselación {4, 6}
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Teselados regulares euclídeos, elípticos e hiperbólicos.
Hemos elegido el disco de Poincaré (que toma como base el círculo unidad) como modelo de representación de la geometría hiperbólica. Las rectas euclídeas ahora son arcos de circunferencias ortogonales a la circunferencia unidad (es decir, de radio 1 y centrada en el origen). [Las circunferencias ortogonales son aquellas que se cortan en puntos cuyas respectivas rectas tangentes son perpendiculares.]
El borde de este círculo representa los puntos infinitamente distantes del centro (y entre sí). La medida de cada distancia se hace mayor a medida que nos aproximamos a ese borde (por eso, visualmente, los arcos empequeñecen).
En este caso, la teselación está compuesta de cuadrados (hiperbólicos). Todos del mismo tamaño (aunque, insistimos, parezcan empequeñecer al alejarse del centro del disco). Observa cómo los lados de cada cuadrado adoptan la curvatura de los arcos (pues ahora son las "rectas" de esta geometría).
En cada vértice, concurren 6 cuadrados, pero podrían concurrir todos los que quieras (a partir de 5). Como 6 es un número par, bastan dos colores para colorear todo el teselado.
El cuadrado central se refleja (por inversión) en las circunferencias que determinan cada uno de sus lados. Los cuadrados obtenidos, vuelven a reflejarse... Así hasta el infinito (borde del círculo unidad, pero en la práctica el proceso seguirá mientras GeoGebra distinga unos vértices de otros; si no quieres esperar, puedes activar la casilla "Imagen final" para observar el resultado después de varios minutos).
El proceso se realiza en espiral. En cada paso, el cuadrado de partida (1) se refleja en uno de sus lados, y el cuadrado obtenido (2) se vuelve a reflejar en un lado que comparte vértice con el cuadrado (1), obteniendo el cuadrado (3), que se vuelve a reflejar... Así hasta que hayan dejado su rastro los 6 cuadrados que concurren en ese vértice. Entonces, se pasa al siguiente vértice no completado y se vuelve a repetir el proceso.
Si observas que la ejecución se ralentiza y tienes instalado GeoGebra, puedes acelerar el proceso descargando el archivo GGB.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.