Integraalin määritelmä
- Author:
- P Porras
Määritettäessä funktion f ja x-akselin väliin jäävän alueen kokoa voidaan sitä approksimoida funktion suurimman ja pienimmän arvon avulla tutkittavalla alueella. Kuten kuvastakin nähdään, arvio on erittäin karkea. Arviota voidaan kuitenkin parantaa jakamalla alue pienempiin osiin, joiden yhteenlasketut arviot (Riemannin summat) antavat paremman approksimaation alueen pinta-alaksi
missä on funktion arvo välin keskipisteessä ja on välin pituus.
Mitä pienempiä osavälit ovat, sitä parempi approksimaatio saadaan. Kun osavälit ovat äärimmäisen pieniä (eli välejä on ääretön määrä), pinta-ala voidaan määrittää raja-arvona
Tälle kyseiselle raja-arvolle käytetään lyhennettyä merkintää
missä a on välin alaraja ja b on välin yläraja. Näin määriteltyä integraalia kutsutaan Riemann-integraaliksi.
Määritelmä: Funktiota F sanotaan funktion f integraalifunktioksi, jos koko funktion f määrittelyjoukossa.
Integrointi ja derivointi ovat toisilleen käänteisiä operaatioita edellisen perusteella. Integroimisen voi helposti tarkistaa derivoimalla, koska derivaatan pitäisi olla alkuperäinen funktio. Integraalifunktio ei kuitenkaan välttämättä ole yksikäsitteinen, sillä
.
Integraalifunktiota kutsutaan myös nimillä antiderivaatta, primitiivi ja kantafunktio.
Funktion f integraalifunktio F merkitään
Merkintä dx kertoo, että integrointi suoritetaan muuttujan x suhteen. Merkintää dx on käytettävä niin kauan, kunnes varsinainen integrointi on suoritettu.