Ortsliniengleichung?
GeoGebra hat den Befehlt Ortsliniengleichung(Ortslinie). Dieser Befehl liefert dann eine kleine Überraschung:
Mit etwas Rechnen stellt man fest:
0 = -x4y + 20x3y - 100x2y + 100y3 = y(-x4 + 20x3 - 100x2 + 100y2).
y = 0 oder -x4 + 20x3 - 100x2 + 100y2 = 0
100y2 = x4 - 20x3 + 100x2
(10y)2 = (x2 - 10x)2.
Die korrekte Ortslinie mit der Gleichung -10y = x² - 10x wird damit erfasst, aber auch etwas mehr,
nämlich y = 0 und 10y = x² - 10x.
Das ist für den User erst einmal überraschend. Im GeoGebra Handbuch findet man dazu:
„Die Berechnung basiert auf einer Gröbner Basis. Aus diesem Grund erscheinen manchmal
zusätzliche Äste der Kurve, die nicht zur original Ortslinie gehören.“
Wie kann man nach der ersten Überraschung das Phänomen erklären?
Dass y = 0 dazugehört, ist typisch bei den Gröbner-Basen. Und wenn man die Konstruktion nicht mit einem Halbkreis durchführt, sondern mit einem vollen Kreis, erhält man eine erweiterte Bewegung des Tangentialkreises und seines Mittelpunkts und damit eine erweiterte Ortslinie, einen Parabelbogen nach unten offen und auch einen zur x-Achse symmetrischen Parabelbogen nach oben offen.