2.3 Weiterführende Berechnungen zum Leontief-Modell
Konsumvektor und Produktionsvektor sind proportional
Wenn wir uns die Gleichung ansehen, dann sieht man: Wenn die Marktabgabe insgesamt verdoppelt werden soll, d.h. alle Koordinaten, dann muss auch die Produktion in allen Koordinaten verdoppelt werden.
Die Rechnung lässt sich natürlich auch mit jedem anderen Faktor als durchführen.
Aber nur, wenn die gesamte Produktion oder der gesamte Konsumvektor vervielfacht wird. Wenn zum Beispiel nur der Sektor A seine Produktion verdoppelt, dann führt das nicht zu einer Verdopplung der Marktabgabe von Sektor A, weil die Produkte von A ja auch in die Sektoren B und C hineinfließen, die wiederum selbst mehr ihrer Produke an A liefern müssen.
Leontief-Gleichungen als Gleichungssystem
Im Folgenden wird die Matrix als Matrix bezeichnet, mit
Dann lässt sich die Gleichung , also , auch als Gleichungssystem schreiben:
Das sind drei Gleichungen und diese reichen aus, um drei Variablen zu bestimmen. Bisher waren unsere Variablen entweder der Konsumvektor , also , und oder der Produktionsvektor mit den Koordinaten , und . Aber es ist auch jede andere Mischung von drei Variablen denkbar:
- , und
- , und
- usw.
Lösungsbeispiel mit Geogebra
Für die Sektoren , und eines nach Leontief verflochtenen Unternehmens ist folgende technologische Matrix bekannt:
Außerdem soll Sektor Waren im Wert von an den Markt abgeben. Außerdem kennen Sie die Gesamtproduktion der Sektoren mit und von mit .
Bestimmen Sie die Marktabgaben der Sektoren und und die Gesamtproduktion des Sektors .
Lösung:
Stellen Sie zuerst sicher, dass sich Geogebra im CAS-Modus befindet.
Speichern Sie die Matrix in Geogebra als "A" ab. Mit der Anweisung E=Einheitsmatrix(3) können Sie die Einheitsmatrix abspeichern.
Dann speichern Sie die Leontief-Matrix als ab. Sie erhalten die Matrix
Achtung: Speichern Sie NICHT den Markt- bzw. Konsumvektor als y ab, sondern suchen Sie sich dafür einen anderen Namen, wenn sie den Vektor abspeichern wollen. y_K wäre zum Beispiel möglich. Und speichern Sie auch den Vektor der Gesamtproduktion NICHT als x ab. Auch hier sollten Sie einen alternativen Namen , wie x_p wählen. Geogebra interpretiert die Buchstaben x, y und z als Variablen des Koordinatensstems. Die Verwendung dieser Buchstaben als Namen führt in der Regel zu Fehlern.
Das zu lösende Gleichungssystem lautet nun:
oder als Gleichungssystem geschrieben:
Vereinfachen Sie die rechte Seite dieser Gleichungen, indem Sie die Multiplikationen schon lösen. Das kann man mit Geogebra machen, indem man eingibt. Dann erhalten Sie:
Diese drei Gleichungen müssen Sie nun in geschweiften Klammern, von Kommata getrennt, in den löse-Befehl einsetzen. Dabei kann als Variablen in Geogebra y_1 eingegeben werden, als geben Sie y_3 ein und so weiter:
Löse({} , {})
Dann erhalten Sie als Ergebnis: , und
Antwort: Der Markt erhält von Sektor Waren im Wert von , von Sektor Waren im Wert von und die Gesamtproduktion von Sektor beträgt
unendlich viele Lösungen
In sehr seltenen Fällen kann es bei den oben stehenden mit Zufallszahlen gebildeten Aufgaben auch zu unendlich vielen Lösungen kommen, dann bleibt eine Variable in den Lösugnen enthalten. Dann ist es fast unmöglich, das richtige Ergebnis zu erraten. In einem solchen Fall lohnt es sich einfach auf "Neu" zu drücken und die nächste Aufgabe zu berechnen.