Sistema de Numeración en Base 2
El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1).
La palabra binario viene de "bi-" que significa dos. Tenemos "bi-" en otras palabras como "bicicleta" (dos ruedas) o "binoculares" (dos ojos).
Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior
siguiente.
Este sistema de numeración es sumamente importante ya que es el utilizado por las computadoras para
realizar todas sus operaciones, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada
posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
10112 = 1110
Decimal a binario
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones
sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
Entonces, se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir
entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.
A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en
orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Este será el número binario que buscamos.
Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1
132 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0
8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011
NOTA: Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba último al primero: 10000011
Ejemplo
100|0
50|0
25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2
12|0
6|0
3|1
1|1 --> --> (100)10 = (1100100)2
El tamaño de las cifras binarias
La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor
que en el sistema decimal.
Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto,
que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.
Binario a decimal
Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
1. Inicie por el lado derecho hasta el izquierdo del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, es decir; 20).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
RECUERDE QUE:
Ejemplo
Transformar el número Binario 1001112 en Decimal. Los pasos a seguir son: Potencia, Multiplicación y suma en su orden.
La Transformación del número Binario 1001112, al sistema Decimal(Base 10) es 39.
SUMA EN BINARIO
La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles. Recuerda que en el sistema decimal había que memorizar unas
100 combinaciones.
Las sumas 0+0, 0+1 y 1+0 son evidentes:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda.
Veamos algunos ejemplos:
| 1001112 | = 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 |
| = 1x32 + 0x16 + 0x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1 | |
| = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 | |
| = 39 |
RESTA EN BINARIO
Restar en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
Las sumas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 -1, es decir, 210 – 110 = 1 Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición
siguiente. Veamos algunos ejemplos:
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:
➢ Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide
una resta larga en tres restas cortas:
