Questão 8.10
- Autor:
- Gilmar Francisco de Lara
Em uma pirâmide quadrangular regular, a altura mede h e os lados da base medem a. Se é o plano que passa por dois vértices adjacentes da base e pelo ponto médio da altura, calcule, em função de a e h, a área da secção da pirâmide determinada por .
Para resolver esta questão usaremos duas ferramentas principais: Teorema de Menelaus e Relação de Stewart.
Veja a construção do problema:
Note que e . Assim temos uma semirreta com origem em e passando por , que intercepta a aresta no ponto . Analogamente, temos uma semirreta com origem em , que passa por e intercepta a aresta em . Assim, temos que , , e são segmentos do plano , de sorte que é um quadrilátero.
Considerando a aresta da pirâmide e aplicando o Teorema de Menelaus ao triângulo , com os pontos colineares temos:
, de onde podemos concluir que . Analogamente, temos também . Logo, por LAL temos que são semelhantes de razão
Desta semelhança , temos:
*
* e . Logo .
Também por LAL, temos congruência entre e , de onde se conclui que
Portanto, concluímos que o quadrilátero é um Trapézio isósceles e possui bases e (*).
Sendo a altura de , aplicando o Teorema de Pitágoras, temos (I).
Pela Relação de Stewart no triângulo , temos:
(II).
Logo, de (I) e (II), temos .
Substituindo (*), temos:
(III)
Aplicando o Teorema de Pitágoras em , temos (IV)
Substituindo (IV) em (III), temos
Desta forma, .
Novos Materiais
- Como fazer uma tarefa com feedback automático envolvendo gráfico da função quadrática no GeoGebra?
- Classificando Triângulos em um Geoplano(malha Quadrada)
- Demonstração do critério de divisibilidade por 9
- Exemplos de tarefas com feedbacks automáticos na plataforma GeoGebra
- portal das letras do alfabeto grego