lançamento de projétil - Aplicação de equações paramétricas.
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O lançamento de projétil é uma bela aplicação das equações paramétricas, pois inicialmente são dadas as funções em função do tempo:
1) vox = vo cos(alfa) e voy = vo sen(alfa)
2) vy = vo sen(alfa) - g t (eq parametrica 1)
3) sx = x = vo cos(alfa) t (eq paramétrica 2)
4) sy = y = yo + vo sen(alfa) t - g t^2/2 (eq paramétrica 3)
Então tirando-se o vslor de t em sx = x e substituindo-se em sy = y obtem-se a função y = f(x)
y = x tg(alfa) - gt^2 / (2 (vo cos(alfa) )^2 )
O gráfico de y = f(x) vem dado nas questões de prova e vestibular e nele ficam wescondidos as funções paramétricas da ´posição e do tempo.
É um assunto que causa muita dificulsdade aos alunos do Ensino Médio.
Neste aplicativo achou-se
I) A forma fatorada da equação y = f(t) e o valor de K = -1/48
II) Da equação y = f(x) e da forma fatorada
a) achou-se alfa = 26.5°
b) achou-se vo = 17.3 m/s
De posse destes valores acha-se y = f(x) = x tg(26.5°) - (10/2) x^2 / (17.3 cos(26.5°) )^2
e traça-se o gráfico usando dois seletores
alfa para o ângulo e vo para a velocidade inicial.
PROPRIEDADES DO LANÇAMENTO OBLÍQUO
Funçõews do movimento; São as equações paramétricas, pois estão em função da variável t.
RESUMO:
Na horizontal ==> M.U. ==> vx = cte = vo cos(alfa) e sx = vx * t( eq1)
Na vertical ==> M.U.V. ==> vy = vo sen(alfa)*t
e sy = yo + vy*t - g*t^2/2 (eq2)
Das eq1 e eq2 tem-se que
y(x) = x tg(alfa) - g*x^2 / (2*(vo*cos(alfa))^2) (eq3)
onde y = f(x) representa o gráfico dado nas questões de prova e concurso.
OBS: No Geogebra pode-se obter este gráfico usando o comando
CURVA( sx , sy , t , valor inicial , valor final)
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1ª)O tempo de subida é igual ao tempo de descida do projétil;
2ª) No ponto de altura máxima tem-se que:
a) O módulo da componente vertical (vy) da velocidade é nula;
b) O módulo da componente horizontal (vx) é constante e igual a vo cos(alfa);
3ª) A altura máxima atingida pelo móvel é dirwetamente proporcional ao ângulo de lançamento alfa;
4ª) o alcance máximo ocorrwerá quando o ângulo alfa = 45° e corresponde à distancia na horizontal, entre o ponto de lanãmento e o ponto em que o projetil atinge o solo
5ª) Quando se utiliza 2 ângulos de lançamentos complementares entre si, alfa1 e alfa2 ( alfa1 + alfa2 = 90° ) , o alcance máximo será o mesmo.
6ª) Para se determinar a posição de y = f(x) e traçar seu gráfico , usa-se a função obtida de sx = vo cos(alfa) e sy = yo + vo sen(alfa) - g t^2 / 2 , logo y = f(x) será:
y = x tg(alfa) - g x^2 / (2 (vo cos(alfa))^2 )
7ª) A velocidade em um dado instante é a soma vwetorial das componentes vx e vy (vet(v) = vet(vx) + vet(vy) e é tangente a curva y = f(x) em cada ponto.
7ª) A posição do móvel é dada por P = (x , y) , calculado na eq3