Autovalores e Autovetores
Em geral, o autovetor v de uma matriz A é o vetor para o qual vale a seguinte relação:
Av = λv
onde λ é um valor escalar chamado autovalor.
Isso significa que a transformação linear A aplicada ao vetor v é completamente definida por λ.
Seja a matriz genérica A:
Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Av − λv = 0 ⇒ v(A − λI) = 0
onde I é a matriz identidade com as mesmas dimensões de A.
Assumindo que v não é o vetor nulo, a equação só pode ser satisfeita se (A − λI) não for invertível.
Se uma matriz quadrada não é invertível, isso significa que seu determinante é igual a zero.
Portanto, para encontrar os autovetores de A, basta resolver a seguinte equação:
Det(A− λI) = 0
Equação característica:Para encontrar os autovalores, usamos a equação:
Det(A−λI)=0
Substituindo:
Expandindo:
Essa é a equação quadrática cujas raízes são os autovalores λ₁ e λ₂.
Autovetores:Para cada autovalor λ, resolvemos o sistema:
(A−λI)v=0
Ou seja:
Esse sistema tem infinitas soluções (exceto o vetor nulo), e qualquer vetor que satisfaz essa equação é um autovetor correspondente ao autovalor λ.
Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Av − λv = 0 ⇒ v(A − λI) = 0
onde I é a matriz identidade com as mesmas dimensões de A.
Assumindo que v não é o vetor nulo, a equação só pode ser satisfeita se (A − λI) não for invertível.
Se uma matriz quadrada não é invertível, isso significa que seu determinante é igual a zero.
Portanto, para encontrar os autovetores de A, basta resolver a seguinte equação:
Det(A− λI) = 0
Equação característica:Para encontrar os autovalores, usamos a equação:
Det(A−λI)=0
Substituindo:
Expandindo:
Essa é a equação quadrática cujas raízes são os autovalores λ₁ e λ₂.
Autovetores:Para cada autovalor λ, resolvemos o sistema:
(A−λI)v=0
Ou seja:
Esse sistema tem infinitas soluções (exceto o vetor nulo), e qualquer vetor que satisfaz essa equação é um autovetor correspondente ao autovalor λ.