Teselación basada en el Teorema de Napoleón

El Teorema de Napoleón establece que, para cualquier triángulo, si construimos un triángulo equilátero sobre cada uno de sus lados y unimos los centros de esos triángulos equiláteros, obtenemos un nuevo triángulo equilátero. Aprovechando esta propiedad, podemos usar cualquier triángulo para hacer un bonito recubrimiento del plano.

¿Hacemos la composición a mano?

Esta composición se basa en repetir muchas veces el mismo triángulo. Para ello, podemos recortar muchos a la vez, por ejemplo reciclando las hojas de un folleto de publicidad o de una revista. El proceso podría ser el siguiente
  • Colocamos el primer triángulo.
  • Tomando otros dos, los colocamos girándolos para que, entre los tres, dejen como hueco un triángulo equilátero.
  • Vamos añadiéndo triángulos poco a poco siguiendo el procedimiento anterior, colocándolos de manera que siempre dejemos entre medias huecos que sean triángulos equilateros. ¡Cuidado! los triángulos siempre llevan la misma "orientación" (no debemos voltearlos).
Ejemplo de composición con los primeros conjuntos de triángulos
Ejemplo de composición con los primeros conjuntos de triángulos
Para adornar la composición podemos añadir el centro a cada triángulo equilátero (si queremos, a ojo).
  • Uniendo los centros obtendremos una malla de triángulos equiláteros como la de la figura.
  • Podemos continuar adornando la composición marcando el centro de cada triángulo de la malla.

El Punto de Fermat

  • Si nos fijamos en la construcción, una vez colocados los tres primeros triángulos, todo el recubrimiento puede obtenerse desplazando esa agrupación de tres triángulos.
  • Las direcciones en las que hay podemos desplazarlos son cualquiera de las que unen cada vértice de los triángulos equiláteros con el otro vértice del triángulo inicial (activar la casilla "Punto de Fermat" para verlo).
  • Los tres segmentos que definen esos desplazamientos tienen un punto en común. Es un punto notable del triángulo algo menos conocido, denominado punto de Fermat.
Cuando ninguno de los ángulos del triángulo original es menor que 120º, el punto de Fermat tiene la propiedad de que la distancia total a los vértices del triángulo es la mínima posible. Esto lo hace particularmente interesante cuando tenemos que elegir un punto y la distancia a los vértices supondrá un coste económico o de tiempo. Por ejemplo, al construir el "tridge" de Midland, o al situar futbolistas en un campo de fútbol.