Zusammenfassung
Verknüpfung von Streckung und Verschiebung in Y-Richtung
Parabeln können sowohl mit einem Faktor gestreckt, getaucht und gespiegelt sein,
also auch in Y-Richtung um verschoben werden.
Beide Parameter und tauchen dann in der Funktionsgleichung auf:
Schaue dir die Abbildung genau an.
Wenn man die Normalparabel (1, Graph der Funktion ) mit einem Faktor streckt oder staucht, dann wird sie schmaler oder breiter.
Den Streckfaktor kann man am Punkt ablesen, der eine X-Einheit neben dem Scheitelpunkt liegt.
Hier fragt man sich:
Wie hat sich der Funktionswert (Y-Wert) verändert in Bezug zum Funktionswert des Scheitelpunkts?
Die Parabel 2 ist eine gestauchte Parabel. Der Faktor ist hier 0,2.
Somit lautet die Funktionsgleichung .
Auch diese Parabel kann man in Y-Richtung verschieben (siehe Pfeil).
Im Beispiel wurde sie um in Y-Richtung verschoben.
Sie ist weiterhin mit dem Faktor gestaucht.
(Das erkennt man daran, dass der Scheitelpunkt des Y-Wert 3 hat und der Y-Wert des Punkt B 3,2 ist. Wir betrachten also den Scheitelpunkt und den Punkt eine X-Einheit daneben und die Veränderung der beiden Funktionswerte (Y-Werte). )
Die Funktionsgleichung zu Graph 3 lautet also: .
In dem Applet kannst du die Normalparabel (, ) strecken, stauchen und spiegeln sowie in Y-Richtung verschieben.
Stelle und ein.
Welche Eigenschaften treffen auf die Parabel zu? Kreuze an.
Welche Eigenschaften hat die Funktion ? Kreuze an.
Du kannst die Parameter oben im Applet einstellen und deine Vermutungen überprüfen.
Verlauf der Graphen.
Gegeben ist die Funktion . Gib zwei Punkte an, durch die sie verläuft. Hilfe: Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet und haben eine x- und eine y-Koordinate. Du kennst die Koordinaten des Scheitelpunkts und du kennst auch Eigenschaften der Punkte, die eine x-Einheit neben dem Scheitelpunkt liegen.
Nullstellen berechnen
Quadratische Funktionen haben entweder keine, eine oder zwei Nullstellen.
Nullstellen sind die Schnittstellen (x-Werte) der Funktion mit der X-Achse.
An Nullstellen ist der Funktionswert (Y-Wert) .
Überlegungen zur Lage des Scheitelpunkts und der Öffnung (nach oben/ nach unten) führen einen auch ohne Rechnung zur Anzahl der Nullstellen.
Man kann die Schnittstelle auch berechnen.
Vollziehe die Rechnung nach und verinnerliche die korrekte mathematische Form.
Beispielaufgabe:
Berechne die Nullstellen der Funktion .
An Nullstellen ist der Funktionswert 0, also . (Dieser Satz muss aufgeschrieben sein)
und
Jetzt du!
Berechne die Nullstellen der Funktionen a) b) c) Überprüfe deine Rechnung über die Eingabe hier.