Übersicht
Diese Übersicht wurde 1982 von Hand, mit Bleistift, Tusche, Zirkel und Lineal erstellt. Stark vergilbt!
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (Juli 2019 verbessert Jan. 2021)
Die Begriffe elliptisches / hyperbolisches Kreisbüschel wurden nachträglich dem allgemeinen Sprachgebrauch angeglichen. In den pdf-Skripten wurde dies nicht verbessert! Zur Klärung:- elliptische Kreisbüschel bestehen aus allen Kreisen durch zwei verschiedene Punkte, den Grundpunkten des Büschels
- ein hyperbolisches Kreisbüschel besteht aus allen orthogonalen Kreisen eines elliptischen Kreisbüschels durch 2 Grundpunkte
Sämtliche Sechs-Eck-Gewebe, welche sich aus W-Kurvenscharen in der MOEBIUS-Ebene bilden lassen -
dazu gehören insbesondere Sechs-Eck-Gewebe aus Kreisbüscheln - , sind in der folgenden Liste erfasst:
(I) Drei Kreisbüschel, deren Achsen im sich in einem Punkt schneiden.
(II) Drei verschiedene Isogonalscharen eines elliptischen Kreisbüschels (Anzahl der Pole: 2)
(III) Zwei verschiedene parabolische Kreisbüschel mit verschiedenen Polen , , welche einen Kreis
gemeinsam haben; dazu das hyperbolische und das dazu polare elliptische Kreisbüschel mit den
beiden Polen . Diese 4 Kreisbüschel bilden ein Sechs-Eck-4-Gewebe der besonderen Art:
das jeweils 4. Büschel ist Diagonal-Netz der anderen. (Anzahl der Pole: 2)
(IV) Zwei beliebige parabolische Büschel mit verschiedenen Polen und das elliptische Büschel
durch die beiden Pole. (Anzahl der Pole: 2)
Falls die beiden parabolischen Büschel einen Kreis gemeinsam haben, liegt Fall (III) vor!
(V) Ein elliptisches Büschel, eine Schar von Isogonaltrajektorien dieses Büschels und
ein parabolisches Büschel durch einen der beiden Pole. (Anzahl der Pole: 2)
(VI) Ein hyperbolisches Kreisbüschel und zwei zueinander orthogonale parabolische Kreisbüschel
durch einen der beiden Pole des hyperbolischen Büschels. (Anzahl der Pole: 2)
(VII) Drei elliptische Kreisbüschel, die paarweise einen Pol gemeinsam haben.
Allgemeiner: Für jeden festen Schnittwinkel ergeben die Isogonaltrajektorien der 3 elliptischen Büschel
ein Sechs-Eck-Netz. (Anzahl der Pole: 3)
(VIII) In derselben Situation bilden 2 der elliptischen Kreisbüschel mit den Isogonaltrajektorien
des 3. Büschels zu einem beliebigen festen Winkel ein Sechs-Eck-Netz. (Anzahl der Pole: 3)
(IX) Ein hyperbolisches Kreisbüschel mit den Polen , zwei elliptische Kreisbüschel mit den
Polen bzw. und ein parabolisches Kreisbüschel mit dem Pol , dessen Kreise
orthogonal zu dem Kreis durch sind, bilden ein Sechs-Eck-4-Gewebe,
allerdings ohne die Diagonaleigenschaft. (Anzahl der Pole: 3)
(X) 6 Kreisbüschel, deren Achsen im MOEBIUS-Geradenraum ein Polartetraeder bilden, erzeugen
ein Sechs-Eck-6-Gewebe. Die 6 Pole diese 6 Kreisbüschel sind die Schnittpunkte von 4 paarweise
orthogonalen Kreisen.
| Die Kreise der 3 Büschel sind sämtlich orthogonal zu einem festen, möglicherweise imaginären Kreis, bzw. sie gehen im Ausartungsfall durch einen festen Punkt in der MOEBIUS-Ebene. Da die zu einem festen Kreis orthogonalen Kreise die GERADEN der zugehörigen Untergeometrie sind, kann man diesen Fall wie folgt deuten: In jeder der 3 Untergeometrien (euklidisch, hyperbolisch oder elliptisch) bilden 3 GERADEN-Büschel stets ein Sechs-Eck-Netz |
| | Zu den 3 Scharen können höchsten 2 Kreisbüschel gehören. |
| | Jeweils 3 dieser 6 Kreisbüschel bilden ein 6-Eck-Netz. Einige dieser Möglichkeiten gehören zum Fall (I). |
Dass es sich bei den Fällen um 6-Eck-Netze handelt, kann man mit den angeführten Methoden nachweisen, dies wird
auf den folgenden Seiten teilweise geschehen.
Mit einer guten Mathematik-CAS-Software kann man für die einzelnen Fälle die Gleichung 
von
Seite Formeln nachprüfen.
Mit der leider nicht mehr gepflegten CAS-Software derive haben wir die Sechseck-Bedingung allgemein
als Funktion in und den 3 in Frage stehenden komplexen Vektor-Infinitesimalen aufgestellt
und die folgenden Erfahrungen gemacht:
In allen Fällen, in denen 6-Eck-Netze vorliegen, hat die Gleichung in Sekundenbruchteilen 0 ergeben.
Bei der Überprüfung anderer Fälle ergaben sich nicht endende Rechenzeiten oder nach sehr, sehr langen
Rechenzeiten Polynom-Ausdrücke in x,y und den Variablen in hoher Ordnung und über viele Seiten!
Wir haben versucht, die Gleichung aufzuteilen (mit der Vermutung, sie könnte überflüssige Teile enthalten!).
Mit dem Ergebnis, dass die einzelnen Teile für die verschiedenen Fälle ganz unterschiedlich reagierten:
Andeutung: Gleichung = GL1 + GL2 +GL3; man erhielt alle Kombinationen: zB: GL1= -GL2 und GL3 = 0 und, und und ....
Auf der Suche nach einem einfachen 6-Eck-Kriterium half uns das nicht weiter!
Wir hoffen auf die Kreativität junger experimentierender Mathematiker!
!!! In der pdf-Datei sind die Bezeichnungen
elliptisch - hyperbolisch
zu vertauschen!!!
von
Seite Formeln nachprüfen.
Mit der leider nicht mehr gepflegten CAS-Software derive haben wir die Sechseck-Bedingung allgemein
als Funktion in und den 3 in Frage stehenden komplexen Vektor-Infinitesimalen aufgestellt
und die folgenden Erfahrungen gemacht:
In allen Fällen, in denen 6-Eck-Netze vorliegen, hat die Gleichung in Sekundenbruchteilen 0 ergeben.
Bei der Überprüfung anderer Fälle ergaben sich nicht endende Rechenzeiten oder nach sehr, sehr langen
Rechenzeiten Polynom-Ausdrücke in x,y und den Variablen in hoher Ordnung und über viele Seiten!
Wir haben versucht, die Gleichung aufzuteilen (mit der Vermutung, sie könnte überflüssige Teile enthalten!).
Mit dem Ergebnis, dass die einzelnen Teile für die verschiedenen Fälle ganz unterschiedlich reagierten:
Andeutung: Gleichung = GL1 + GL2 +GL3; man erhielt alle Kombinationen: zB: GL1= -GL2 und GL3 = 0 und, und und ....
Auf der Suche nach einem einfachen 6-Eck-Kriterium half uns das nicht weiter!
Wir hoffen auf die Kreativität junger experimentierender Mathematiker!
!!! In der pdf-Datei sind die Bezeichnungen
elliptisch - hyperbolisch
zu vertauschen!!!
