Equilibrios dinámicos
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Autómatas.
Existe una gran diferencia entre condición y cálculo. Por ejemplo, la condición para que un número real sea raíz de una función es que el valor numérico de la función, para ese número, sea cero. Calcular esa raíz es otro cantar.
Habitualmente los cálculos exigen procedimientos cuyo aprendizaje es largo y tedioso. Pero que no sepamos realizar esos cálculos no es impedimento para apropiarnos de la idea matemática que abordan. Estas ideas pueden parecer mucho más atractivas si sacrificamos algo de cálculo... o lo simplemente lo posponemos a un nivel más avanzado.
Proyecto 2D: crear sistemas dinámicos que se estabilicen por sí mismos.
Pongamos dos puntos en el interior de un círculo. Imaginemos que tanto los puntos como el borde del círculo están cargados eléctricamente, con la misma carga. Los dos puntos se repelen entre sí, y son repelidos por la circunferencia, con intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Inmediatamente, buscarán el equilibrio, que se alcanzará cuando los dos puntos se dispongan simétricamente respecto al centro del círculo y a una distancia entre sí igual a un tercio del diámetro.
Si añadimos más puntos, el equilibrio dará lugar a polígonos regulares, como cabría esperar. Aquí vemos cómo 10 puntos se equilibran formando el decágono regular (dependiendo de las condiciones iniciales, podría formarse también un eneágono con su centro).
No siempre resulta tan intuitivo predecir cuál serán las posiciones estables. En este caso, cinco puntos en un cuadrado encuentran, además de la distribución que cabría esperar, otras cuatro posibles distribuciones, simétricas entre sí.
Incluso pueden observarse situaciones en las que una levísima diferencia en las condiciones iniciales diferencie el orden del caos. En este ejemplo, los puntos se repelen entre ellos igual que antes, pero ahora además son atraídos, con doble intensidad, al origen de coordenadas.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.