Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt?
Einleitung und Anleitung für die Bearbeitung des Arbeitsblattes:
Einleitung und Ausgangsfrage: In diesem Arbeitsblatt gehen Sie den folgenden Fragen nach: Wie kann man Hoch- und Tiefpunkte, auch Extrempunkte genannt, einer ganzrationalen Funktion rechnerisch ermittelt? Und wie kann man rein rechnerisch beurteilen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? Ein weiterer besonderer Punkt, mit dem man im Zuge dieser Frage unweigerlich konfrontiert wird, ist der sogenannte Sattelpunkt. Sie werden im Zuge des Arbeitsblattes auch lernen, was es mit diesem Punkt auf sich hat. Anleitung: Gehen Sie das Arbeitsblatt schrittweise von oben nach unten durch. Sprich: Scrollen Sie zu Beginn nicht einfach nach unten! Durch die Bearbeitung der Aufgaben werden Sie Schritt für Schritt zu einer Antwort der Ausgangsfrage geleitet werden :)
Bevor es richtig los geht (Startbedingungen):
Bestimmen Sie jeweils die korrekte Ableitungsfunktion zur gegebenen Bestandsfunktion
Jetzt zurück zur Ausgangsfrage!
Schritt 1: Erinnern Sie sich noch daran, was eine Besonderheit an Hoch- und Tiefpunkten ist?!
Abbildung 1
Aufgabe 1:
Wie viele Extrempunkte hat der dargestellte Graph?
Aufgabe 2:
Welche Steigung hat die angelegte Tangente bzw. welchen Wert hat die Ableitung an den jeweiligen Extrempunkten?
Aufgabe 3:
Erläutern Sie kurz den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung.
Aufgabe 4:
Welche Bedingung muss also erfüllt sein, wenn eine Funktion einen Extrempunkt (also einen Hoch- oder Tiefpunkt) hat? Diese Bedingung nennt man auch notwendige Bedingung für die Berechnung von Extrempunkten!
Schritt 2: Mit Kenntnis über die notwendige Bedingung für die Berechnung von Extrempunkten zurück zum Ausgangsbeispiel.
Aufgabe 5:
Schreiben Sie die Funktionsgleichung von f(x) ab und bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x).
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie mit Hilfe der notwendigen Bedingung alle x-Werte, an denen ein Extrempunkt vorliegen könnte. Setzen Sie dafür also und lösen Sie nach x auf. Nutzen Sie gerne den Taschenrechner. Runden Sie das Ergebnis nach der zweiten Nachkommastelle.
Schritt 3: Jetzt muss nur noch geklärt werden, ob an diesen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen und welche Art von Extrempunkt dies jeweils ist
Abbildung 2
Aufgabe 7:
Untersuchen Sie mit Hilfe von Abbildung 2 wie sich die erste Ableitungsfunktion (durch Häkchen aktivieren) in der Umgebung des eingezeichneten Tiefpunktes (links und rechts daneben) verhält. Was geschieht dabei mit dem Wert der Ableitung?
Aufgabe 8:
Beschreiben Sie mit Hilfe von Abbildung 3 wie sich der Wert der Ableitung in der direkten Umgebung eines Hochpunktes verhält.
Abbildung 3
Aufgabe 9:
Formulieren Sie mit Hilfe Ihres Wissen über den Vorzeichenwechsel der Ableitung in der Umgebung von Extrempunkten einen kurzen Merksatz zur Beurteilung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Hoch- / oder einen Tiefpunkt handelt. Ergänzen Sie ihn ggf. mit der Musterlösung.
Aufgabe 10:
Erläutern Sie anhand von Abbildung 4, was man unter einem Sattelpunkt versteht und erklären Sie, was hier bezüglich des Vorzeichens der Ableitung zu beachten ist (Ist das Vorzeichenwechselkriterium für einen Sattelpunkt erfüllt?)
Abbildung 4
Aufgabe 11:
Wieder zurück zum Ausgangsproblem: Beurteilen Sie nun mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums für welchen der über die notwendige Bedingung ermittelten x-Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt. Nehmen Sie dafür die x-Werte aus der Lösung von Aufgabe 6 und rechnen Sie nach, ob bei x-Werten links und rechts von den Extremstellen ein Vorzeichenwechsel geschieht.
Aufgabe 12:
Da die Ausgangsfrage auf Extrempunkte (und Sattelpunkte) bezogen war, müssen noch die y-Koordinaten der jeweiligen Punkte ermittelt werden. Berechnen Sie für die ermittelten Hoch-, Tief- und Sattelpunkte die dazugehörigen y-Werte von f(x) und geben Sie die entsprechende Punkte vollständig an. f(x) lautete
Blick auf die Funktion (Ergebniskontrolle)
Darstellung der Ausgangsfunktion f(x)
Aufgabe 12:
Wie anfangs erwähnt gibt es zwei Methoden, um Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu unterscheiden. Das Vorzeichenwechselkriterium haben Sie nun als hinreichende Bedingung kennengelernt. Erläutern Sie mit Blick auf die zweite Ableitung f''(x) (das ist die Ableitung der Ableitung) in den Abbildungen 2 , 3 und 4 wie Hoch-, Tief- und Sattelpunkte ebenfalls unterschieden werden können.