Cubo rígido parametrizado
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Mecanismos.
Como el prisma que hemos visto no era rígido, ampliemos las restricciones. Ahora colocamos barras de longitud raíz de 2 en cada una de las caras del cubo, formando un tetraedro, tal como se aprecia en la siguiente construcción. Con ello, conseguimos que el número de grados internos del cubo sea 0.
Ahora bien, la rigidez del cubo en estas condiciones, ¿implica que solo existe UNA configuración (salvo congruencias)? Es decir, ¿es el cubo globalmente rígido?
La respuesta es NO: las posiciones en el cubo de los vértices se pueden parametrizar así:
- O = (0, 0, 0)
- U = (0, 1, 0)
- E = (2e - 1, 0, 0)
- A = (0, 0, 1 - 2a)
- J = ((2e - 1) (3 - 4j), 3 - 4j, (1 - 2a) (3 - 4j)) / 3
- F = ((2e - 1) (3 - 2f) (3 - 2j), (3 - 2f) (3 - 2j), (1 - 2a) (6f + 4f j - 6j)) / 9
- B = ((2e - 1) (6b + 4b j - 6j), (3 - 2b) (3 - 2j), (1 - 2a) (3 - 2b) (3 - 2j)) / 9
- D = ((2e - 1) (3 - 2d) (3 - 2j), 6d + 4d j - 6j, (1 - 2a) (3 - 2d) (3 - 2j)) / 9
Observemos que el parámetro "e" cambia el signo de la componente X de cada punto, y el parámetro "a" cambia el signo de la componente Z. Pero algunos puntos tienen esa coordenada nula, por lo que no les afecta esta reflexión. Es por esta razón que algunos puntos toman menos posiciones posibles que otros:
- E=(2e-1, 0, 0) depende de "e". Por tanto tiene 2 posiciones: (±1, 0, 0)
- A=(0, 0, 1-2a) depende de "a". Por tanto tiene 2 posiciones: (0, 0, ±1)
- J=((2e-1)(3-4j), 3-4j, (1-2a)(3-4j))/3 depende de "e", "a" y "j". Por tanto tiene 8 posiciones: (±1, 1, ±1) y (±1, -1, ±1)/3
- F=((2e-1)(3-2f)(3-2j), (3-2f)(3-2j), (1-2a)(6f+4fj-6j))/9 depende de "e", "a", "j" y "f". Pero su coordenada Z se anula cuando f=j=0, así que no varía al cambiar el estado de "a". Por tanto tiene 10 posiciones: (±1, 1, 0), (±1, 1, ±2)/3 y (±1,1, ±4)/9. Geométricamente, esto sucede porque una de las posiciones básicas de F descansa sobre el plano XY, por lo que es invariante a la simetría respecto a ese plano.
- B=((2e-1)(6b+4bj-6j), (3-2b)(3-2j), (1-2a)(3-2b)(3-2j))/9 depende de "e", "a", "j" y "b". Pero su coordenada X se anula cuando b=j=0, así que no varía al cambiar el estado de "e". Por tanto tiene 10 posiciones: (0, 1, ±1), (±2, 1, ±1)/3 y (±4,1, ±1)/9. Geométricamente, esto sucede porque una de las posiciones básicas de B descansa sobre el plano YZ, por lo que es invariante a la simetría respecto a ese plano.
- D=((2e-1)(3-2d)(3-2j), 6d+4dj-6j, (1-2a)(3-2d)(3-2j))/9 depende de "e", "a", "j" y "d". Por tanto D sí alcanza las 16 posiciones: (±1, 0, ±1), (±1, ±2, ±1)/3 y (±1, 4, ±1)/9
- s=0 (cubo unidad de seis caras cuadradas, 4*1 posiciones congruentes)
- s=1 (un vértice se refleja en una cara del tetraedro, pasando al interior del cubo unidad, 4*4 posiciones congruentes)
- s=2 (dos vértices pasan al interior del cubo unidad, 4*6 posiciones congruentes)
- s=3 (tres vértices pasan al interior del cubo unidad, 4*4 posiciones congruentes)
- s=4 (cuatro vértices pasan al interior del cubo unidad, 4*1 posiciones congruentes)
- e=j=1, a=f=b=d=0
- e=f=1, a=j=b=d=0
Autor de la construcción GeoGebra: Rafael Losada