Ejercicio 73
a) Mas de dos mueran
a) Probabilidad de que más de dos personas mueran en un grupo de 500:
La fórmula de la distribución de
Poisson es:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Donde:
P(X = k) es la probabilidad de que ocurran exactamente k eventos en un intervalo dado.
λ es el valor esperado (tasa) de eventos en ese intervalo.
k es el número de eventos que estamos interesados en
En este caso, la tasa de mortalidad es de tres por mil (0.3 por cien), lo que significa que en promedio,
0.3 personas fallecerían en un grupo de 100 personas. Para un grupo de 500
personas, la tasa de mortalidad promedio sería de 500 * 0.3 / 100 = 1.5 personas.
a) Probabilidad de que más de dos personas mueran en un grupo de 500:
Para calcular la probabilidad de que más de dos personas mueran, podemos sumar las probabilidades de que 0, 1 y 2 personas mueran y luego restar ese valor de 1. Utilizaremos la distribución de Poisson con λ = 1.5.
P(X > 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
P(X = 0) = (e^(-1.5) * 1.5^0) / 0! = (e^(-1.5) * 1) / 1 ≈ 0.2231
P(X = 1) = (e^(-1.5) * 1.5^1) / 1! = (e^(-1.5) * 1.5) / 1 ≈ 0.3347
P(X = 2) = (e^(-1.5) * 1.5^2) / 2! = (e^(-1.5) * 2.25) / 2 ≈ 0.5016
P(X > 2) = 1 - (0.2231 + 0.3347 + 0.5016) ≈ 0.9406
La probabilidad de que más de dos personas mueran en un grupo de 500 es aproximadamente 0.9406 o 94.06%.
b) Probabilidad de que como máximo dos personas mueran en un grupo de 500:
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Ya hemos calculado estos valores en el apartado anterior:
P(X = 0) ≈ 0.2231
P(X = 1) ≈ 0.3347
P(X = 2) ≈ 0.5016
P(X ≤ 2) = 0.2231 + 0.3347 + 0.5016 ≈ 1.0594
Sin embargo, la probabilidad no puede ser mayor que 1. Esto se debe a que estamos aproximando los valores de la distribución de Poisson. Por lo tanto, la probabilidad de que como máximo dos
personas mueran en un grupo de 500 es 1